[论文解读] Quantum Langlands Correspondence

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用 26

一句话总结

本文提出了量子几何朗兰兹对应中的猜想等价关系，提出仿射格拉斯曼流形上的D-模范畴与局部系统上的凝聚层范畴之间存在2-函子性对偶，关键结果位于临界水平（c=0）和无穷大水平。它证明了在水平0时的维特克范畴对应于朗兰兹对偶群的表示，并通过施瓦茨-施瓦茨结构和有分支局部系统将此推广至全局Hecke特征层。

ABSTRACT

These are informal notes written in 2007 that outline the local and global quantum Langlands program. (I decided to make them public in view of the revived interest in the subject.)

研究动机与目标

• 为半单群G及其朗兰兹对偶群Ǧ提出量子几何朗兰兹对应。
• 在水平c下，建立由环群G((t))作用的范畴与G-局部系统模堆栈上的范畴之间的2-函子性对偶。
• 将几何朗兰兹对应推广至量子情形，引入扭曲D-模与维特克结构。
• 在临界水平（c=0）和无穷大水平（c=∞）下验证特例，证明维特克范畴与表示范畴或凝聚层范畴之间的等价性。

提出的方法

• 引入一个2-函子ΦG→Ǧ，将由G((t))在水平0下作用的范畴映射到堆栈LocSysG(D×)上的范畴，其核心构造为维特克函子。
• 利用维特克范畴构造，将仿射格拉斯曼流形GrG上的D-模与朗兰兹对偶群Ĝ在水平0下的表示联系起来。
• 利用chiral范畴和环群G((t))上D-模的因子化结构，定义G((t))上的张量积与等变结构。
• 应用Beilinson-Drinfeld构造Hecke特征层的方法，通过施瓦茨-施瓦茨结构在c=0下验证对应关系。
• 建立维特克范畴与施瓦茨-施瓦茨结构及局部系统上的凝聚层之间的等价性，包括通过带 punctured 曲线的有分支情形。
• 利用水平c与1/c之间的对偶性，将水平c下的范畴与Ĝ在对偶水平下的范畴联系起来，推广了早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子几何朗兰兹对应表述为D-模范畴与局部系统模堆栈上凝聚层范畴之间的2-函子性对偶？
• RQ2 维特克函子在临界水平c=0下实现量子朗兰兹对应时的精确作用是什么？
• RQ3 BunG,x上的D-模范畴及其维特克结构如何与带 punctured 点的曲线上的凝聚层及有分支局部系统相关联？
• RQ4 水平c下的W代数与Kac-Moody模的维特克范畴之间关系为何？
• RQ5 全局量子朗兰兹对应在c=0时如何退化为经典几何朗兰兹对应？

主要发现

• 在水平c=0时，仿射格拉斯曼流形的维特克范畴Whitt^0(GrG) 同构于朗兰兹对偶群Ĝ的表示范畴。
• 在水平c=∞时，临界水平下的Kac-Moody模范畴ĝ^0-mod^I 同构于Ĝ的非正则有分支施瓦茨-施瓦茨结构堆栈上的凝聚层范畴。
• 在c=0时，全局对应关系通过等价关系D^0(BunG)-mod ≃ QCoh(LocSysǦ(X)) 实现，Hecke特征层通过施瓦茨-施瓦茨结构构造。
• 在水平0下，带 punctured 标志的旗流形上的D-模的维特克范畴同构于Ĝ旗流形上的凝聚层范畴，这是AB定理的推论。
• 在G((t))上两个ĝ^0-mod范畴的张量积同构于同 monodromy 群胚IsomG(D×)上的凝聚层范畴，提供了全局对偶性陈述。
• 有分支的全局对应关系实现为Whitt^0(D^0(BunG,x)) ≃ QCoh(LocSysǦ(X−x))，作为LocSysG(D×)上的范畴，确认了有分支情形下的对偶性。