[论文解读] Quantum Langlands duality and conformal field theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 12

一句话总结

本文通过参数化复参数 $\kappa$ 的 twisted $\mathcal{D}$-module 与 $G^\vee$-bundle 的 twisted cotangent bundle 上 $\mathcal{O}$-module 之间的导出范畴等价，提出了几何朗兰兹对应关系的量子形变。关键结果是一个猜想的核对象 $\mathcal{L}_\kappa$，它在 $\kappa=0$ 时插值于经典几何朗兰兹对应（$\kappa=0$），在 $\kappa=\infty$ 时插值于其朗兰兹对偶，其奇点支撑条件与希钦可积系统相关。

ABSTRACT

V. Drinfeld proposed conjectures on geometric Langlands correspondence and its quantum deformation. We refine these conjectures and propose their relationship with algebraic conformal field theory.

研究动机与目标

• 通过引入复参数 $\kappa \in \mathbb{C}^\times$，对 V. Drinfeld 关于几何朗兰兹对偶的猜想进行精炼与拓展。
• 在 $\mathcal{B}un_G$ 上的 twisted $\mathcal{D}$-模与 $\widetilde{T}^*\mathcal{B}un_{G^\vee}$ 上的 $\mathcal{O}$-模之间建立导出范畴等价，推广经典对应关系。
• 将此量子朗兰兹对应与代数共形场论联系起来，统一几何朗兰兹与表示论结构。
• 定义一个核对象 $\mathcal{L}_\kappa$，使其在 $\kappa=0$ 时插值于经典几何朗兰兹核，在 $\kappa=\infty$ 时插值于其朗兰兹对偶核，同时满足平坦性与奇点支撑约束。

提出的方法

• 提出 $\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa})$-模与 $\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-模之间的导出范畴等价，其中 $\kappa^\vee = 1/(r\kappa)$，$r$ 为 Dynkin 图中最大边重数。
• 将核 $\mathcal{L}_\kappa$ 定义为 $\mathbb{P}^1 \times \mathcal{B}un_G \times \mathcal{B}un_{G^\vee}$ 上的 $\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa}) \boxtimes \mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-模，且关于 $\mathbb{P}^1$ 平坦。
• 要求在 $t=\kappa$ 处的纤维为 $\mathcal{L}_\kappa$，在 $t=0$ 处为经典核 $\mathcal{L}_0$，在 $t=\infty$ 处为朗兰兹对偶核 $\mathcal{L}_\infty$，以确保在对偶理论之间实现插值。
• 施加奇点支撑条件：$\mathcal{L}_\kappa$ 的奇点支撑必须是 Hitchin 映射乘积 $\chi_G \times \chi_{G^\vee}$ 下对角线 $\Delta_\kappa = \{v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i\}$ 的原像。
• 利用希钦可积系统约束 $\mathcal{L}_\kappa$ 的奇点支撑，其中经典极限 $\kappa \to 0$ 导出其包含于全局幂零锥内。
• 通过空间 $\mathcal{C}onf_{G^\vee}$（与带色除子空间同构）将构造与共形场论联系起来，并利用 $\mathcal{B}un_{B/[N,N]}^{>0}$ 图形定义相关几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几何朗兰兹对应关系通过复耦合参数 $\kappa$ 实现为量子形变？
• RQ2 实现 $\mathcal{B}un_G$ 上 twisted $\mathcal{D}$-模与 $\widetilde{T}^*\mathcal{B}un_{G^\vee}$ 上 $\mathcal{O}$-模之间导出等价的核 $\mathcal{L}_\kappa$ 的精确形式是什么？
• RQ3 $\mathcal{L}_\kappa$ 的奇点支撑如何与希钦可积系统及对角条件 $v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i$ 相关联？
• RQ4 共形场论在实现与验证此量子朗兰兹对偶中起什么作用？
• RQ5 经典极限 $\kappa \to 0$ 如何恢复原始几何朗兰兹对应？此时对应 $\mathcal{D}$-模的奇点支撑是什么？

主要发现

• 对于任意 $\kappa \in \mathbb{C}^\times$，$\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}(\xi^{\otimes\kappa})$-模的导出范畴与 $\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_{G^\vee}}(\xi^{\vee\otimes\kappa^\vee})$-模的导出范畴之间存在猜想的等价关系，其中 $\kappa^\vee = 1/(r\kappa)$。
• 核 $\mathcal{L}_\kappa$ 是 $\mathbb{P}^1 \times \mathcal{B}un_G \times \mathcal{B}un_{G^\vee}$ 上关于 $\mathbb{P}^1$ 的平坦 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-模，其在 $t=\kappa$、$t=0$ 和 $t=\infty$ 处的纤维分别对应于量子、经典和对偶经典朗兰兹核。
• $\mathcal{L}_\kappa$ 的奇点支撑必须与 Hitchin 映射乘积 $\chi_G \times \chi_{G^\vee}$ 下对角线 $\Delta_\kappa = \{v_i^\vee = \kappa^{d_i} v_i\}$ 的原像重合，从而将构造与可积系统联系起来。
• 经典极限 $\kappa \to 0$ 意味着 $\mathcal{D}_{\mathcal{B}un_G}$-模 $\mathcal{F}_{\mathcal{P}^\vee}$ 的奇点支撑包含于全局幂零锥中，即 $\chi_G$ 下零点的原像。
• $\mathcal{C}onf_{G^\vee}$ 与带色除子空间 $\{D_i : \deg D_i \geq 2g-2\}$ 同构，且同构于曲线 $C$ 的对称积的不相交并，从而为共形块提供了几何实现。
• 该构造与共形场论相容：核 $\mathcal{L}_\kappa$ 来自 $\mathbb{P}^1$ 上的平坦族，该族在经典与对偶经典朗兰兹理论之间实现插值，共形场论结构由 $\mathcal{B}un_{B/[N,N]}^{>0}$ 图形与向量丛 $\mathcal{B}un_{\omega,H}$ 编码。