[论文解读] Quantum law for equipartition of energy

P. Białas, Jakub Spiechowicz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Quantum Mechanics and Applications被引用 2

一句话总结

本文通过引入 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$，为经典能量均分定理构建了量子对应版本，其中 $\mathcal{E}_k$ 表示热浴中谐振子体系每自由度的热运动动能，$\langle \cdot \rangle$ 表示基于 $\mathbb{P}(\omega)$ 加权的频率平均。该关系在精确可解的量子开放系统——自由布朗运动和谐振子——中推导得出，确立了一条量子能量均分定律。

ABSTRACT

One of the fundamental laws of classical statistical physics is the energy equipartition theorem which states that for each degree of freedom the average kinetic energy equals $E_k=k_B T/2$, where $k_B$ is the Boltzmann constant and $T$ is temperature of the system. Despite the fact that quantum mechanics has already been developed for more than 100 years still there is no quantum counterpart of this theorem. We attempt to fill this far-reaching gap and formulate the quantum law for equipartition of energy in the appealing form $E_k = \langle \mathcal E_k angle$, where $\mathcal E_k$ is thermal kinetic energy per one degree of freedom of the thermostat consisting of harmonic oscillators and $\langle ... angle$ denotes averaging over frequencies $\omega$ of those thermostat oscillators which contribute to $E_k$ according to the probability distribution $\mathbb P(\omega)$. We derive it for two paradigmatic and exactly solvable models of quantum open systems: a free Brownian particle and a harmonic oscillator. We formulate conditions for validity of the relation $E_k = \langle \mathcal E_k angle$ for other quantum systems.

研究动机与目标

• 通过提出经典能量均分定理的量子对应版本，弥合量子统计力学中长期存在的空白。
• 基于热浴中振子频率的平均，定义量子系统中动能均分的量子定律。
• 在典型的量子开放系统（如自由布朗粒子和谐振子）中，确立 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 的有效性。
• 推导该量子能量均分关系在其他量子系统中成立的一般条件。

提出的方法

• 将每个自由度的量子动能定义为 $\mathcal{E}_k$，其来源于由谐振子构成的热浴。
• 利用确定各振子频率对总动能贡献的几率分布 $\mathbb{P}(\omega)$，定义频率加权平均 $\langle \mathcal{E}_k \rangle$。
• 将该形式化方法应用于两个精确可解的模型：与谐振子热浴耦合的自由布朗粒子和谐振子。
• 利用量子开放系统理论计算平均动能，并在特定条件下证明其与 $\langle \mathcal{E}_k \rangle$ 一致。
• 基于热浴的谱特性及系统-环境耦合，推导 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 成立的一般判据。

实验结果

研究问题

• RQ1 动能的量子对应版本在经典能量均分定理中是什么？
• RQ2 在量子开放系统中，如何一致地定义每个自由度的平均动能？
• RQ3 当量子系统耦合到热浴时，$E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 在何种条件下成立？
• RQ4 该量子能量均分定律能否在精确可解模型中严格推导？

主要发现

• 量子能量均分定律被表述为 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$，其中 $\mathcal{E}_k$ 是热浴中谐振子体系每自由度的动能。
• 对于自由布朗粒子，该关系 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 在由 $\mathbb{P}(\omega)$ 定义的频率平均下精确成立。
• 对于谐振子，该关系得到严格推导，证实了在第二个典型模型中的一致性。
• 本文识别出确保 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 在其他量子系统中成立的热浴谱密度和耦合的一般条件。