[论文解读] Quantum LDPC codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ distance, for any $k$

Tali Kaufman, Ran J. Tessler|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文通过利用拉马努金复形的张量积，构建了最小距离为 Ω(√n log^k n) 的量子 LDPC 码，其中 k 为任意值。关键洞见在于：若一个余胞复形具有余胞膨胀性质，而另一个复形具有线性余胞，则其张量积可保持线性余胞，从而实现对先前工作的距离改进。

ABSTRACT

In this work we construct quantum LDPC codes of distance $\sqrt{n} \log^k n$ for any $k$, improving a recent result of Evra et. al. \cite{EKZ}. The work of \cite{EKZ} took advantage of the high dimensional expansion notion known as cosystolic expansion, that occurs in Ramanujan complexes. Our improvement is achieved by considering tensor product of Ramanujan complexes. The main conceptual contribution of our work is the following: a tensor product of a cosystolic expander with a complex with a linear cosystole has a linear cosystole.

研究动机与目标

• 构建最小距离渐近大于先前已知结果的量子 LDPC 码。
• 克服先前依赖拉马努金复形中余胞膨胀性质的构造方法的局限性。
• 建立高维膨胀复形与具有线性余胞的复形进行张量积时的新结构性质。
• 将量子 LDPC 码的距离标度推广至超越多对数改进的范围。

提出的方法

• 选择拉马努金复形作为基础复形，因其具有强余胞膨胀性质。
• 在具有余胞膨胀性质的复形与具有线性余胞的复形之间应用张量积构造。
• 证明所得张量积复形保持线性余胞，这是关键的结构性质。
• 利用张量积中的线性余胞推导出码距离的下界。
• 运用高维膨胀复形的代数与拓扑工具分析上同调性质。
• 利用余胞膨胀确保对逻辑错误的鲁棒性，从而实现大码距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个因子为余胞膨胀复形时，两个高维复形的张量积是否能保持线性余胞？
• RQ2 从拉马努金复形构造的量子 LDPC 码的最大可实现距离是多少？
• RQ3 该张量积构造如何在距离界方面超越先前的量子 LDPC 码结果？
• RQ4 能否通过乘积构造利用拉马努金复形的余胞膨胀性质，以获得更优的码参数？
• RQ5 在张量积下，哪些复形的结构性质被保留，以确保大码距离？

主要发现

• 余胞膨胀复形与具有线性余胞的复形的张量积，产生一个具有线性余胞的复形。
• 该结构性质的保持使得能够构造出最小距离为 Ω(√n log^k n) 的量子 LDPC 码，其中 k 为任意值。
• 该构造在 Evra 等人的先前结果基础上，实现了超多对数距离的改进。
• 该方法建立了一个新框架，利用拉马努金复形上的乘积构造来构建具有大距离的量子码。
• 结果表明，通过张量积可有效结合高维膨胀与线性余胞，从而获得更优的码参数。
• 该方法提供了一种通用机制，可将码距离放大至单个复形无法实现的范围。