[论文解读] Quantum linear system solver based on time-optimal adiabatic quantum computing and quantum approximate optimization algorithm

Dong An, Lin Lin|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 85

一句话总结

本文提出了一种时间最优的绝热量子计算（AQC）框架及其基于量子近似优化算法（QAOA）的变体，用于以近似最优的复杂度求解量子线性系统问题（QLSP）。通过使用可调函数重新调度绝热路径，该方法在一般非厄米矩阵下实现了 O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖))) 的运行时间，消除了对复杂振幅放大技术的依赖，并在数值测试中优于原始 AQC 和随机化方法。

ABSTRACT

We demonstrate that with an optimally tuned scheduling function, adiabatic quantum computing (AQC) can readily solve a quantum linear system problem (QLSP) with $\mathcal{O}(\kappa~ ext{poly}(\log(\kappa/\epsilon)))$ runtime, where $\kappa$ is the condition number, and $\epsilon$ is the target accuracy. This is near optimal with respect to both $\kappa$ and $\epsilon$. Our method is applicable to general non-Hermitian matrices, and the cost as well as the number of qubits can be reduced when restricted to Hermitian matrices, and further to Hermitian positive definite matrices. The success of the time-optimal AQC implies that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with an optimal control protocol can also achieve the same complexity in terms of the runtime. Numerical results indicate that QAOA can yield the lowest runtime compared to the time-optimal AQC, vanilla AQC, and the recently proposed randomization method.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解量子线性系统问题（QLSP）的时间最优绝热量子计算（AQC）方法，以改善运行时间复杂度。
• 消除对复杂振幅放大技术（如可变时间振幅放大，VTAA）的依赖，这些技术难以实现。
• 证明当与最优控制协议结合时，QAOA 可实现与时间最优 AQC 相同的近似最优复杂度。
• 通过截断的杜森级数和标准查询模型，实现门效率高的实现方式，适用于稀疏矩阵和态制备。
• 通过数值验证表明，QAOA 在所有 AQC 变体及竞争方法中运行时间最短。

提出的方法

• 提出 AQC(p) 和 AQC(exp) 调度函数，通过重新调度绝热路径以最小化运行时间，其中 p ∈ (1,2)，并采用指数调度以实现最优缩放。
• 利用绝热路径上的能隙信息设计时间最优演化，降低运行时间对条件数 𝜅 和精度 𝜖 的依赖。
• 采用截断的杜森级数实现高效的绝热动力学模拟，AQC(p) 的查询复杂度为 O(d𝜅/𝜖 log(d𝜅/𝜖))，AQC(exp) 的查询复杂度为 O(d𝜅 poly log(d𝜅/𝜖))。
• 利用 AQC 与 QAOA 之间的紧密联系，证明当使用最优控制时，QAOA 可实现与时间最优 AQC 相同的运行时间复杂度。
• 采用标准查询模型：d-稀疏矩阵访问和 |b⟩ 的态制备预言机，实现门效率高的实现方式。
• 在厄米正定矩阵和非厄米矩阵上对性能进行数值评估，比较 AQC(p)、AQC(exp)、QAOA、RM 和原始 AQC 的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 绝热量子计算能否被优化以在不依赖复杂振幅放大技术的情况下，实现 QLSP 的近似最优运行时间复杂度？
• RQ2 何种调度函数可使 AQC 实现 O(𝜅poly(log(𝜅/𝜖))) 的运行时间缩放？其与现有方法相比表现如何？
• RQ3 当使用最优控制协议时，量子近似优化算法（QAOA）能否继承时间最优 AQC 的相同复杂度缩放？
• RQ4 在运行时间及对 𝜅 和 𝜖 的缩放方面，QAOA 与 AQC 变体及随机化方法（RM）相比表现如何？
• RQ5 AQC(p)、AQC(exp) 和 QAOA 在不同矩阵类型和参数区域下的数值缩放行为如何？

主要发现

• AQC(p) 方法在 1 < p < 2 时实现 O(𝜅/𝜖) 的运行时间复杂度，与随机化方法（RM）相比，去除了 𝜅 的对数因子，后者缩放为 O(𝜅 log 𝜅 / 𝜖)。
• AQC(exp) 方法实现 O(𝜅 poly(log(𝜅/𝜖))) 的运行时间，对 𝜅 和 𝜖 均接近最优，且无需事先知道 𝜅 的值。
• 数值结果表明，QAOA 在所有测试方法中运行时间最短，其精度缩放为 O(log^1.5(1/𝜖))，即使在 𝜖 较小时也优于 AQC(exp)。
• 对于条件数 𝜅，QAOA 的缩放约为 O(𝜅^0.89)，而 AQC(exp) 为 O(𝜅^0.93)，AQC(p) 为 O(𝜅^1.05)，表明其接近线性依赖。
• 当 𝜖 足够小时，AQC(exp) 表现优于 AQC(p)，证实其对 1/𝜖 具有对数多项式依赖。
• 当找到最优参数时，QAOA 的运行时间小于 AQC(exp)，表明 QAOA 动力学可能并未严格遵循绝热路径，暗示存在非绝热优势。