[论文解读] Quantum linear systems algorithms: a primer

Danial Dervovic, Mark Herbster+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用 61

一句话总结

本文提供了 Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) 量子算法的详细入门，用于求解线性方程组、其子过程、数据加载，以及现代改进，包括可变时间振幅放大和基于量子奇异值估计的方法在求解线性系统中的应用。

ABSTRACT

The Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) quantum algorithm for sampling from the solution of a linear system provides an exponential speed-up over its classical counterpart. The problem of solving a system of linear equations has a wide scope of applications, and thus HHL constitutes an important algorithmic primitive. In these notes, we present the HHL algorithm and its improved versions in detail, including explanations of the constituent sub- routines. More specifically, we discuss various quantum subroutines such as quantum phase estimation and amplitude amplification, as well as the important question of loading data into a quantum computer, via quantum RAM. The improvements to the original algorithm exploit variable-time amplitude amplification as well as a method for implementing linear combinations of unitary operations (LCUs) based on a decomposition of the operators using Fourier and Chebyshev series. Finally, we discuss a linear solver based on the quantum singular value estimation (QSVE) subroutine.

研究动机与目标

• 将求解线性系统作为量子计算中的广泛应用基元来作为动机。
• 介绍用于对线性系统解进行采样的 HHL 算法并讨论其局限性。
• 解释关键的量子子过程（相位估计、振幅放大、量子随机存取存储器）及数据加载挑战。
• 综述对 HHL 的改进（可变时间振幅放大 VTAA、通过傅里叶/切比雪夫分解的线性组合单位 LCU）以及基于 QSVE 的方法。
• 讨论非厄米扩展以及对量子线性系统算法的最优性考量。

提出的方法

• 描述量子计算的基础知识和门模型以建立上下文。
• 介绍量子子过程：量子傅里叶变换、哈密顿量模拟（Trotter-Suzuki及其他方法）、量子相位估计、相位回馈、振幅放大、逆运算技巧以及量子随机存取存储器（QRAM）。
• 定义线性系统问题及其量子变体；概述 HHL 算法并给出误差分析。
• 介绍改进：可变时间振幅放大以改进条件数依赖性；精度改进；基于量子奇异值估计（QSVE）的线性系统算法（QLSA）。
• 讨论非厄米矩阵的处理以及通过基于 QSVE 的技术扩展到更密的矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 HHL 框架及其改进下，在量子计算机上求解线性系统的复杂度是多少？
• RQ2 如何高效地将数据加载到量子计算机中并从中提取，以用于线性系统问题？
• RQ3 哪些子过程和电路原语支撑 QLSA，以及像 VTAA 和基于 LCU 的分解等改进如何影响性能？
• RQ4 QSVE 如何使密集矩阵线性求解器成为可能及其对 QLSA 的影响？
• RQ5 量子线性系统算法的极限与最优性考量（例如 BQP 完整性、HHL 的最优性）有哪些？

主要发现

问题	算法	运行时复杂度
LSP	CG [ She94 ]	O(Ns κ log(1/ε))
QLSP	HHL [ HHL09 ]	O(log(N) s^2 κ^2 / ε)
QLSP	VTAA-HHL [ Amb10 ]	O(log(N) s^2 κ / ε)
QLSP	Childs et. al. [ CKS17 ]	O(s κ polylog(s κ / ε))
QLSA	WZP18	O(κ^2 polylog(n) ||A||_F / ε)

• 在满足适当数据加载假设的前提下，HHL 在对线性系统解进行采样方面提供指数级加速。
• 如可变时间振幅放大等改进降低了对条件数 κ 的依赖。
• 在某些变体中，精度依赖性可以实现指数级改进。
• 使用傅里叶和切比雪夫分解的基于 LCU 的实现使哈密顿量式的演化更加灵活。
• QSVE 为超越稀疏哈密顿假设的密集矩阵线性求解器提供了途径。
• 非厄米矩阵可以在扩展的 HHL 框架内处理。