[论文解读] Quantum loop models and the non-abelian toric code

Paul Fendley|ArXiv.org|Nov 1, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于正方形晶格上量子环模型的拓扑内积，使得当 $ d > \sqrt{2} $ 时可实现禁闭的非交换 anyon，从而突破了标准模型中 $ d = \sqrt{2} $ 的限制。通过重新定义内积以在环粘合过程中强制实现拓扑不变性，该模型在 $ d = \sqrt{2} $ 处实现临界相，并仅使用四自旋相互作用支持了 $ d = \sqrt{2} $ 时的能隙非交换 anyon。

ABSTRACT

I define quantum loop models whose degrees of freedom are Ising spins on the square lattice as in the toric code, but where the excitations should have non-abelian statistics. The inner product is topological, allowing a direct implementation of the anyonic fusion matrix on the lattice. It also makes deconfined anyons possible for a variety of values of the weight per loop $d$ in the ground state. For d=\sqrt{2}, a gapped non-abelian topological phase can occur with only four-spin interactions.

研究动机与目标

• 为克服由于非拓扑内积导致 anyon 被禁闭的量子环模型中 $ d = \sqrt{2} $ 的障碍。
• 定义一种确保环构型在振幅中一致贡献并保持粘合下拓扑不变性的拓扑内积。
• 证明在该内积下，经典环模型在 $ d > \sqrt{2} $ 时仍保持临界性，从而实现 anyon 的无禁闭。
• 表明非交换统计特性可通过融合矩阵 $ F $ 自然涌现，其与 $ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $ 处的 $ SU(2)_k $ anyon 模型一致。
• 仅使用四自旋相互作用，在 $ d = \sqrt{2} $ 处构建一个能隙非交换拓扑相，避免扩展希尔伯特空间。

提出的方法

• 通过在顶点处粘合环的端点来定义拓扑内积，确保 $ \langle 0|\widetilde{0}\rangle = 1/d $，从而强制实现拓扑不变性。
• 将 anyon 理论中的 $ F $-矩阵用作正交基 $ |0\rangle, |1\rangle $ 与 $ |\widetilde{0}\rangle, |\widetilde{1}\rangle $ 之间的幺正变换，其中 $ F = \frac{1}{d} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{d^2-1} \\ \sqrt{d^2-1} & -1 \end{pmatrix} $。
• 将哈密顿量构造为局部项 $ \mathcal{F}_p $ 的和，其投影到 plaquette 上的自旋-1 态，以及 $ \mathcal{J}_p $，其实现琼斯-温兹尔投影算符。
• 推导出配分函数 $ \langle \Psi|\Psi \rangle = \sum_{{\cal L},{\cal L}'} d^{n_{\cal L}} d^{n_{{\cal L}'}} \lambda^{n_X} $，其中 $ \lambda = 1/d $，该式建模了两个耦合的 Potts 模型。
• 应用 BMW 代数的层级-秩对偶性，识别出临界点位于 $ \lambda = \lambda_c = -\sqrt{2} \sin(\pi(k-2)/(4(k+2))) $，并表明当 $ \lambda \in (1/\lambda_c, \lambda_c) $ 时系统保持临界性。
• 证明当 $ d = \sqrt{2} $ 时，该模型退化为临界 Ashkin-Teller 模型，其中 $ \lambda = 1/\sqrt{2} $，并通过 $ F $-矩阵支持非交换 anyon。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过修改内积，在 $ d = \sqrt{2} $ 限制之外构造出具有非交换拓扑相的量子环模型？
• RQ2 基于环粘合的拓扑内积如何影响经典环模型的临界性以及 anyon 的无禁闭性？
• RQ3 在仅具有局域相互作用的格点自旋模型中，$ F $-矩阵在实现非交换统计特性方面起什么作用？
• RQ4 能否仅使用四自旋相互作用在 $ d = \sqrt{2} $ 处实现能隙非交换拓扑相，而无需扩展希尔伯特空间？
• RQ5 当内积为拓扑内积时，该模型在 $ d > \sqrt{2} $ 时是否表现出临界相？与标准正交内积相比有何不同？

主要发现

• 该拓扑内积使得经典环模型在 $ d > \sqrt{2} $ 时仍保持临界性，从而实现 anyon 的无禁闭，而标准正交内积则无法实现此效果。
• 当 $ d = \sqrt{2} $ 时，该模型对应于临界 Ashkin-Teller 模型，其中 $ \lambda = 1/\sqrt{2} $，并通过 $ F $-矩阵支持非交换 anyon。
• 对于 $ k = 6 $，临界点出现在 $ \lambda = -1/d $，而对于 $ k < 6 $，系统在相区 $ 1/\lambda_c < \lambda < \lambda_c $ 内保持临界性，实现 anyon 的无禁闭。
• 具有拓扑内积的哈密顿量在 $ d = \sqrt{2} $ 时支持能隙非交换 anyon，且琼斯-温兹尔投影算符简化为四自旋相互作用。
• 该模型实现了 $ SU(2)_k $ anyon 理论，其中 $ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $，且 $ F $-矩阵与 anyon 融合规则完全匹配。
• 数值证据与层级-秩对偶性共同表明，即使当 $ d > \sqrt{2} $ 时，该模型在 $ \lambda $ 接近 $ -1/d $ 处也表现出临界相，支持长程拓扑序。