[论文解读] Quantum lozenge tiling and entanglement phase transition

Zhao Zhang, Israel Klich|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2022

Quantum many-body systems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于三角晶格上彩色菱形密铺的二维无 frustration 量子哈密顿量，推广了 1D 的 Fredkin 自旋链。通过引入颜色自由度和高度表象，该模型表现出一种临界纠缠相变，其中纠缠熵在临界点处按 $L\log L$ 规律增长，实现了二维中对面积律的最大违反。

ABSTRACT

While volume violation of area law has been exhibited in several quantum spin chains, the construction of a corresponding ground state in higher dimensions, entangled in more than one direction, has been an open problem. Here we construct a 2D frustration-free Hamiltonian with maximal violation of the area law. We do so by building a quantum model of random surfaces with color degree of freedom that can be viewed as a collection of colored Dyck paths. The Hamiltonian may be viewed as a 2D generalization of the Fredkin spin chain. It relates all the colored random surface configurations subject to a Dirichlet boundary condition and hard wall constraint from below to one another, and the ground state is therefore a superposition of all such classical states and non-degenerate. Its entanglement entropy between subsystems undergoes a quantum phase transition as the deformation parameter is tuned. The area- and volume-law phases are similar to the one-dimensional model, while the critical point scales with the linear size of the system $L$ as $L\log L$. Further it is conjectured that similar models with entanglement phase transitions can be built in higher dimensions with even softer area law violations at the critical point.

研究动机与目标

• 构建一个二维量子自旋模型，实现纠缠熵对面积律的最大违反。
• 通过菱形密铺与颜色自由度，将 1D 的 Fredkin 与 Motzkin 自旋链推广至二维。
• 展示一种纠缠相变，其具有不同的标度行为：面积律（$q<1$）、临界 $L\log L$ 标度（$q=1$）与体积律（$q>1$）。
• 探讨颜色自由度与高度约束在高维中如何共同影响纠缠熵的标度。
• 预测此类模型在更高维度中的行为，表明在 $d>2$ 时临界点处的纠缠熵标度为 $L^{d-1}\sqrt{\log L}$。

提出的方法

• 将蜂窝晶格上的二维 dimer 覆盖映射为对偶三角晶格上的菱形密铺，每个 dimer 具有 $s^2$ 个内部颜色态。
• 通过投影算符定义一个无 frustration 哈密顿量，利用 $H_0 = \sum_{\mathbf{r}} \left(\sum_{i=1}^3 n_{\mathbf{r},\mathbf{r}+\mathbf{e}_i} - 1\right)^2$ 强制实现完全填充 dimer 约束。
• 通过 q-变形哈密顿量引入形变参数 $q$，以控制基态叠加中不同密铺构型的权重。
• 在三角晶格上定义高度函数，沿三个晶格方向变化为 $\pm1$，在狄利克雷边界条件下确保体积极大为正。
• 应用熵排斥论证，表明在高维中平均高度按 $\sqrt{\log L}$ 标度增长，从而在临界点增强纠缠。
• 将纠缠熵分解为颜色自由度与高度涨落的贡献，分析其在不同 $q$ 参数区域下的标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个具有各向同性、局域相互作用的二维量子自旋模型能否实现纠缠熵对面积律的最大违反？
• RQ2 在菱形密铺中引入颜色自由度如何影响二维量子系统中的纠缠熵标度？
• RQ3 由形变参数 $q$ 控制的相变临界点处，纠缠熵的标度行为如何？
• RQ4 该二维模型能否推广至更高维度？在这些情况下会涌现出何种标度行为？
• RQ5 边界条件、近邻相互作用与颜色匹配之间的相互作用如何导致非平凡的纠缠结构？

主要发现

• 该模型在零狄利克雷边界条件与正高度函数子空间中实现了非简并基态的二维无 frustration 哈密顿量。
• 纠缠熵在 $q=1$ 处表现出相变，标度为 $O(L\log L)$，这在二维中代表了对面积律的最大违反。
• 当 $q>1$ 时，纠缠熵标度为 $O(L^2)$，表明由于强约束导致涨落在最大体积构型附近集中，呈现体积律标度。
• 当 $q<1$ 时，纠缠熵标度为 $O(L)$，与面积律行为一致，颜色贡献因在构型中广泛分布而被抑制。
• 在 $q=1$ 时，颜色引起的纠缠熵贡献标度为 $O(L\log L)$，由正约束下高度函数的熵排斥驱动。
• 在更高维度（$d>2$）中，临界点处的纠缠熵标度为 $L^{d-1}\sqrt{\log L}$，这是由于熵排斥下平均高度按 $\sqrt{\log L}$ 标度增长所致。