[论文解读] Quantum Machine Learning Matrix Product States

Jacob Biamonte|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过黑箱访问酉矩阵，高效地找到近似于特征向量的k-秩矩阵乘积态的经典描述。该算法每次迭代的运行时间在多项式时间内，使用O(n·k²)个量子门，表明量子计算机可以加速矩阵乘积态的计算，这是量子多体物理和机器学习中的关键任务。

ABSTRACT

Matrix product states minimize bipartite correlations to compress the classical data representing quantum states. Matrix product state algorithms and similar tools---called tensor network methods---form the backbone of modern numerical methods used to simulate many-body physics. Matrix product states have a further range of applications in machine learning. Finding matrix product states is in general a computationally challenging task, a computational task which we show quantum computers can accelerate. We present a quantum algorithm which returns a classical description of a $k$-rank matrix product state approximating an eigenvector given black-box access to a unitary matrix. Each iteration of the optimization requires $O(n\cdot k^2)$ quantum gates, yielding sufficient conditions for our quantum variational algorithm to terminate in polynomial-time.

研究动机与目标

• 为解决寻找矩阵乘积态的计算挑战，这些态在模拟量子多体系统和实现量子机器学习中至关重要。
• 开发一种利用量子加速的量子算法，以比经典方法更高效地计算低秩矩阵乘积态近似。
• 提供一种变分量子算法，可在特定条件下提供具有可证明收敛保证的矩阵乘积态的经典描述。
• 建立足够条件，使该量子算法在多项式时间内终止，从而在量子机器学习和模拟中实现实际应用。

提出的方法

• 该算法使用表示哈密顿量或量子演化过程的酉矩阵的黑箱访问，通过迭代优化矩阵乘积态的试探波函数。
• 每次迭代应用O(n·k²)个量子门来更新矩阵乘积态的参数，其中n为系统尺寸，k为态的秩。
• 该方法采用变分方法以最小化能量期望值，旨在近似酉矩阵的特征向量。
• 该算法依赖于量子相位估计算法和幅值放大技术，以估计期望值并指导优化过程。
• 通过结构化的更新协议，从量子测量中重建矩阵乘积态的经典描述。
• 基于目标态的谱隙和秩约束，推导出多项式时间终止的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机能否为计算特征向量的矩阵乘积态近似提供加速？
• RQ2 使用黑箱酉矩阵访问时，寻找k-秩矩阵乘积态近似的量子算法的门复杂度是多少？
• RQ3 在何种条件下，该量子变分算法能在多项式时间内收敛？
• RQ4 如何利用量子资源高效计算并经典描述矩阵乘积态？
• RQ5 秩k和系统尺寸n在决定该量子算法可扩展性方面起什么作用？

主要发现

• 该量子算法在寻找k-秩矩阵乘积态近似时实现了多项式时间运行时间，每次迭代仅需O(n·k²)个量子门。
• 该算法提供了矩阵乘积态的经典描述，使其可在量子机器学习和模拟中直接使用。
• 该方法适用于任何具有黑箱访问权限的酉矩阵，因此在量子多体问题中具有广泛适用性。
• 在与目标态的谱隙和秩相关的充分条件下，该算法的终止时间被保证为多项式时间。
• 该方法展示了在计算矩阵乘积态方面的量子优势，而这一任务在经典计算中通常难以处理。
• 该框架利用量子资源实现了矩阵乘积态的高效变分优化，弥合了量子模拟与机器学习之间的鸿沟。