[论文解读] Quantum machine learning with subspace states

Iordanis Kerenidis, Anupam Prakash|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文引入了量子子空间态，以实现量子机器学习算法的指数级或高阶多项式加速。提出了三种算法：具有 O(nd) 门数和 O(d log n) 深度的行列式采样，对复合矩阵进行奇异值估计并实现潜在的指数级加速，以及通过将狄拉克算符嵌入基于 Clifford 加载器的酉算符中，实现对数深度的量子代数拓扑数据分析电路。

ABSTRACT

We introduce a new approach for quantum linear algebra based on quantum subspace states and present three new quantum machine learning algorithms. The first is a quantum determinant sampling algorithm that samples from the distribution $\Pr[S]= det(X_{S}X_{S}^{T})$ for $|S|=d$ using $O(nd)$ gates and with circuit depth $O(d\log n)$. The state of art classical algorithm for the task requires $O(d^{3})$ operations \cite{derezinski2019minimax}. The second is a quantum singular value estimation algorithm for compound matrices $\mathcal{A}^{k}$, the speedup for this algorithm is potentially exponential. It decomposes a $\binom{n}{k}$ dimensional vector of order-$k$ correlations into a linear combination of subspace states corresponding to $k$-tuples of singular vectors of $A$. The third algorithm reduces exponentially the depth of circuits used in quantum topological data analysis from $O(n)$ to $O(\log n)$. Our basic tool are quantum subspace states, defined as $|Col(X) angle = \sum_{S\subset [n], |S|=d} det(X_{S}) |S angle$ for matrices $X \in \mathbb{R}^{n imes d}$ such that $X^{T} X = I_{d}$, that encode $d$-dimensional subspaces of $\mathbb{R}^{n}$. We develop two efficient state preparation techniques, the first using Givens circuits uses the representation of a subspace as a sequence of Givens rotations, while the second uses efficient implementations of unitaries $Γ(x) = \sum_{i} x_{i} Z^{\otimes (i-1)} \otimes X \otimes I^{n-i}$ with $O(\log n)$ depth circuits that we term Clifford loaders.

研究动机与目标

• 解决基于 QRAM 和稀疏矩阵的现有量子机器学习算法的局限性，这些算法因去量化结果而面临端到端加速的挑战。
• 克服量子代数拓扑数据分析（TDA）和线性代数算法中电路深度高和态制备开销大的问题。
• 基于量子子空间态构建新框架，以实现结构化量子线性代数任务中高效态制备和酉算符块编码。
• 通过将电路深度从 O(n) 降低到 O(log n)，为低秩和代数拓扑数据分析提供实现量子优势的实用路径。

提出的方法

• 将量子子空间态定义为 |Col(X)⟩ = ∑_{S⊂[n],|S|=d} det(X_S) |S⟩，其中 X ∈ ℝ^{n×d} 为标准正交矩阵，用于编码 ℝ^n 中的 d 维子空间。
• 提出两种高效的态制备技术：通过旋转序列实现子空间表示的 Givens 电路，以及通过实现酉算符 Γ(x) = ∑_i x_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−i)} 的 Clifford 加载器，其深度为 O(log n)。
• 将单纯复形的狄拉克算符作为块编码矩阵，证明其为酉算符 U = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} 的子矩阵，且可通过 Clifford 加载器实现对数深度的构造。
• 利用狄拉克算符的块编码嵌入到基于 Clifford 加载器的酉算符中，实现高效奇异值估计和特征值采样，显著降低电路深度。
• 通过酉算符嵌入将 O(n)-深度电路替换为 O(log n)-深度替代方案，将该框架应用于量子代数拓扑数据分析。
• 在低深度块编码上应用奇异值变换和量子化技术，实现对狄拉克算符的快速特征值估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子子空间态是否能实现超越基于 QRAM 方法的、具有可证明加速效果的新量子机器学习算法？
• RQ2 能否通过块编码技术将量子代数拓扑数据分析的电路深度从 O(n) 降低到 O(log n)？
• RQ3 是否能通过子空间态表示在复合矩阵的奇异值估计中实现指数级或高阶多项式加速？
• RQ4 Clifford 加载器电路是否可用于高效制备编码子空间的量子态，并实现具有对数深度的结构化酉算符？
• RQ5 通过使用子空间态和低深度构造，能否在多大程度上缓解量子机器学习面临的去量化威胁？

主要发现

• 量子行列式采样算法的门数为 O(nd)，电路深度为 O(d log n)，相较于经典算法的 O(d³) 显著提升。
• 针对复合矩阵 𝒜ᵏ 的量子奇异值估计算法通过将 k 阶相关性分解为子空间态的线性组合，实现了潜在的指数级加速。
• 单纯复形的狄拉克算符被证明是酉算符 U = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} 的子矩阵，且可通过 Clifford 加载器实现对数深度构造。
• 构建了具有 O(n log n) 门数和 O(log n) 深度的狄拉克算符量子电路，相较于先前 TDA 方法的 O(n) 深度显著降低。
• 将狄拉克算符的块编码嵌入低深度酉算符中，结合量子化和奇异值变换技术，实现了量子代数拓扑数据分析中电路深度的指数级减少。
• 该框架为量子 TDA 中高深度电路提供了黑箱兼容的替代方案，在保持相同渐近运行时间的同时，大幅降低深度，这对近场量子设备至关重要。