[论文解读] Quantum Magic via Perfect Pauli Sampling of Matrix Product States

Guglielmo Lami, Mario Collura|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Quantum many-body systems被引用 10

一句话总结

Introduces a perfect Pauli-string sampling method for Matrix Product States to efficiently estimate Stabilizer Rényi Entropies (SREs) and quantify nonstabilizerness (magic) in N-qubit states, enabling study of dynamics and Ising model benchmarks.

ABSTRACT

We introduce a novel breakthrough approach to evaluate the nonstabilizerness of an $N$-qubits Matrix Product State (MPS) with bond dimension $χ$. In particular, we consider the recently introduced Stabilizer Rényi Entropies (SREs). We show that the exponentially hard evaluation of the SREs can be achieved by means of a simple perfect sampling of the many-body wave function over the Pauli string configurations. The sampling is achieved with a novel MPS technique, which enables to compute each sample in an efficient way with a computational cost $O(Nχ^3)$. We benchmark our method over randomly generated magic states, as well as in the ground-state of the quantum Ising chain. Exploiting the extremely favourable scaling, we easily have access to the non-equilibrium dynamics of the SREs after a quantum quench.

研究动机与目标

• 说明在多体态中超越纠缠来量化 nonstabilizerness（magic）的必要性。
• 提出一种基于抽样的高效方法来计算 MPS 的 Stabilizer Rényi Entropies (SREs)。
• 使计算在系统规模和 MPS 绑定维度上具有良好的可扩展性。
• 在随机 MPS、Ising 基态以及淬火动力学上对该方法进行基准测试。

提出的方法

• 将 Stabilizer Rényi Entropies (SREs) 定义为 Pauli-string 分布 im[ρ](p) 在 Pauli字符串上的 Renyi 熵。
• 将 Pauli-string 分布重写为条件概率的乘积，以实现顺序抽样（Pauli sampling）。
• 在抽样过程中使用高效的 MPS 收缩来计算条件概率，并更新一个有效环境张量。
• 提供一个迭代的、右归一化的 MPS 程序以以 概率 ϕ(p) 采样 Pauli strings 并累积整体抽样概率。
• 证明抽样成本对每个样本的量级为 O(N χ^3)，对于 ˆN 个样本，总成本为 O(ˆN χ^3 ˆ ˆ ˆ) 。
• 讨论对 n>1 和 n=1 的误差分析，包括方差界和抽样需求。

Figure 1: MPS evaluation of the marginal probability $\pi_{\rho}(\sigma_{1})$ . Dotted lighter shapes represent conjugate tensors. Contractions over the auxiliary indices can be easily carried out thanks to the property in Eq. ( 7 ), together with the right-normalization of the $\mathbb{A}_{i}$ tens

实验结果

研究问题

• RQ1 Stabilizer Rényi Entropies (SREs) 是否可以在有限绑定维度 χ 的 N-量子比特 MPS 上高效计算？
• RQ2 完美的 Pauli-string 抽样是否提供一个与希尔伯特空间大小无关的无偏且可扩展的 SREs 估算量？
• RQ3 该方法在随机 MPS 状态、Ising 模型基态以及淬火后非平衡动力学中的表现如何？
• RQ4 在动力学过程中 Ising 型模型中的约束现象对 SREs 的敏感性如何？

主要发现

• Pauli 抽样方法为 SREs 提供了无偏估计，且抽样成本按每个样本 O(N χ^3) 规模。
• 随机 MPS 和 Ising 基态的实验结果与理论/费米结果在误差边界内一致。
• 该方法使在淬火后获得非平衡 SRE 动态成为可能，包括具有约束的动力学情形。
• SREs（magic density）随系统规模呈广泛缩放，使密度 m_n = M_n/N 有意义。
• 在较大 χ（例如 χ 高达 ~128）和 N 为几十量子比特的情况下，抽样仍具可行性，每个样本时间约在单节点上 ~0.1 秒。
• 对于 n=1，方差分析表明抽样需求与系统规模呈多项式尺度。

Figure 2: The iterative sampling Algorithm 1 .