[论文解读] Quantum Many-body Bootstrap

Xizhi Han|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

Quantum many-body systems参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文提出了一种严格的量子多体自洽方法，通过算符期望值的正定性约束，推导出局域格点系统中基态能量和可观测量的非平凡下界。通过将这些下界与变分上界结合，该方法能紧密约束基态性质——在一维和二维 Hubbard 模型中得到验证——提供了无需近似或符号问题的精确、非微扰约束。

ABSTRACT

A numerical bootstrap method is proposed to provide rigorous and nontrivial bounds in general quantum many-body systems with locality. In particular, lower bounds on ground state energies of local lattice systems are obtained by imposing positivity constraints on certain operator expectation values. Complemented with variational upper bounds, ground state observables are constrained to be within a narrow range. The method is demonstrated with the Hubbard model in one and two dimensions, and bounds on ground state double occupancy and magnetization are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种非微扰、严格的通用方法，用于约束具有局域性的量子多体系统的基态能量和可观测量。
• 通过提供精确的界作为数值算法的基准，克服近似方法的局限性。
• 通过聚焦于空间局域算符并施加正定性约束，将变分密度矩阵理论推广至无限晶格。
• 在存在精确解或高精度数值结果的一维和二维 Hubbard 模型中，展示该方法的有效性。
• 提供与变分上界互补的严格界，从而显著缩小可观测量（如双占据数和磁化强度）基态值的可能范围。

提出的方法

• 该方法对算符期望值施加正定性约束：$\langle O^\dagger O \rangle \geq 0$，$\langle I \rangle = 1$，以及 $\langle O^\dagger \rangle = \langle O \rangle^*$，以确保物理一致性。
• 通过 $\langle [C_\alpha, O] \rangle = 0$ 对守恒荷 $C_\alpha$ 和 $\langle U_\alpha^{-1} O U_\alpha \rangle = \langle O \rangle$ 对对称性生成元 $U_\alpha$ 施加对称性约束。
• 通过在满足上述约束的线性泛函集合 $\mathcal{A}$ 上最小化 $\mathcal{F}[H]$，利用半定规划获得基态能量的下界。
• 对于真实基态 $\rho_0$，泛函 $\mathcal{F}[O] = \operatorname{tr}(\rho_0 O)$ 始终属于 $\mathcal{A}$，从而保证 $E_{\text{lb}} \leq E_0$。
• 通过限制为局域算符，该方法被推广至无限晶格，从而可在热力学极限下系统探测多体关联。
• 对 $K=\infty$（无限约束集）的外推可改善界，误差通过在有限 $K$ 值上的拟合进行估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用算符期望值的正定性约束，在局域量子多体系统中推导出基态能量的严格下界？
• RQ2 自洽方法对双占据数和条纹磁化强度等可观测量的界，与最先进的变分法和精确数值结果相比如何？
• RQ3 该方法能否在存在费米子符号问题或希尔伯特空间无界的系统中，提供非平凡的、非微扰的基态性质约束？
• RQ4 当与变分上界结合时，自洽方法在多大程度上能约束可观测量？由此产生的范围有多窄？
• RQ5 该方法能否扩展以包含非局域关联或谱函数，从而检测长程序或竞争相？

主要发现

• 在一维 Hubbard 模型半满情况下，基态能量的自洽下界与精确解相差不足 1%，显示出高精度。
• 在二维情况下，当 $n=1$ 且 $U=8$ 时，基态能量的自洽下界为 $E_{\text{lb}}|_{K=\infty} = -0.77(3)$，与 AFQMC 结果相差不足 1%。
• 在半满且 $U=8$ 时，双占据数的自洽下界为 $d_{\text{lb}}|_{K=\infty} = 0.050(3)$，与 DMRG 和 DMET 结果一致。
• 在 $U=8$ 时，条纹磁化强度的上界为 $m_{\text{ub}}|_{K=\infty} = 0.34(2)$，接近 Heisenberg 极限的 $\approx 0.307$。
• 该方法产生严格、非微扰的界，与变分上界互补，将基态可观测量的不确定性缩小至百分之几。
• 从有限 $K$ 外推至 $K=\infty$ 的界具有可靠性，数值不确定性通过拟合质量与标准误差进行量化。