[论文解读] Quantum mechanics as a space-time theory

J. V. Corbett, Thomas Durt|ArXiv.org|Dec 23, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过用基于量子态空间上戴德金实数层的、系统依赖的可变‘qrumber’连续统替代经典实数连续统，将量子力学重新表述为一种时空理论。它表明非局域量子现象可被理解为该量子时空中的局域轨迹，通过一种非标准连续统，粒子具有明确的qrumber值位置和动量，其本体论与标准量子力学及德布罗意-玻姆力学不同，从而解决了诸如EPR非局域性等佯谬。

ABSTRACT

We show how quantum mechanics can be understood as a space-time theory provided that its spatial continuum is modelled by a variable real number (qrumber) continuum. Such a continuum can be constructed using only standard Hilbert space entities. The geometry of atoms and subatomic objects differs from that of classical objects. The systems that are non-local when measured in the classical space-time continuum may be localized in the quantum continuum. We compare this new description of space-time with the Bohmian picture of quantum mechanics.

研究动机与目标

• 通过用系统依赖的非标准连续统替代经典实数连续统，将量子力学重新表述为一种时空理论。
• 通过用qrumber重新定义空间和时间结构，解决量子力学中的基础性问题——尤其是非局域性和测量问题。
• 提供一种几何化、基于轨迹的量子系统解释，避免标准希尔伯特空间形式主义中的解释模糊性。
• 通过使连续统依赖于物理系统，建立量子力学与广义相对论式几何化之间的联系。
• 证明EPR型非局域性可被理解为qrumber空间中的局域动力学，其轨迹由该新连续统中的哈密顿方程类似形式定义。

提出的方法

• 在量子态空间的层范畴上构造qrumber连续统，作为戴德金实数层的局部截面，记为$\mathbb{R}_D(\mathcal{E}_\mathcal{S})$。
• 将量子点识别为三元组的qrumber，即其有效性范围取决于系统状态的非平凡实数。
• 将量子粒子建模为经典粒子，其属性（位置、动量）被赋予qrumber值，而非标准实数。
• 使用基于范数的邻域结构$\nu(\rho; \epsilon)$定义量子态存在的程度，其中$\epsilon < 1$确保纯态邻域的不纯性和非重叠性。
• 通过类比经典哈密顿动力学的运动方程，推导qrumber轨迹，但以qrumber值的位置和动量表达。
• 在EPR-Bohm实验中应用该框架，通过计算纠缠态中位置和动量算符的期望值，表明当引入自旋-磁场相互作用时，qrumber轨迹会分裂为四条。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过用系统依赖的非标准连续统替代经典实数连续统，一致地将量子力学解释为一种时空理论？
• RQ2 在具有qrumber连续统的量子时空框架中，EPR型实验中的非局域量子关联如何能被解释为局域动力学？
• RQ3 在此框架中，量子粒子的本体论地位是什么？其轨迹与标准量子力学或德布罗意-玻姆力学中的轨迹有何不同？
• RQ4 由qrumber定义的量子空间几何与经典空间有何不同，特别是在局域化和测量结果方面？
• RQ5 在此新形式化中，不确定性原理在何种程度上能与明确的qrumber值轨迹相容？

主要发现

• 在EPR态中，粒子的qrumber位置在量化轴方向上近似为零，尽管该粒子并未局域于某个单一经典点附近。
• 当在$P_{\psi_+(j)}$或$P_{\psi_-(j)}$附近测量时，第j个粒子的qrumber位置在两个邻域中同时有效，当$\epsilon < 1$时，由于波函数正交性，这两个邻域互不重叠。
• $\rho_0(j)$的$\epsilon$-邻域仅包含非纯态，且对小$\epsilon$近似为$\frac{1}{2}\nu(P_{\psi_+(j)}; \epsilon) + \frac{1}{2}\nu(P_{\psi_-(j)}; \epsilon)$，表明其为有效范围的叠加。
• 对于处于EPR态中的两个全同无自旋粒子，每个粒子的qrumber轨迹在$\vec{a}$-方向上局域于零附近，且$\vec{a} \cdot \vec{x}(j)$的qrumber值近似为零。
• 在引入自旋-磁场相互作用时，双粒子qrumber轨迹分裂为四条独立轨迹，反映了纠缠结构。
• 期望值$\text{Tr}[P_\Psi(\hat{X}_a(1) \otimes \hat{X}_a(2))] = -(v t)^2$及类似项在非轴向分量上消失，证实了轴对称性及该量子时空中的轨迹行为。