[论文解读] Quantum Mechanics in General Relativity

E. A. Tagirov|ArXiv.org|Jul 14, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过从实标量场的量子场论推导出具有渐近厄米特哈密顿量的薛定谔型方程，构建了在弯曲时空 $V_{1,3}$ 中适用于无自旋点粒子的广义协变、准非相对论性量子力学。关键结果是，坐标与动量算符在一般情况下不满足对易关系，这是由于相对论修正所致，即使在非闵氏时空下也是如此，除非处于非相对论极限或在具有笛卡尔坐标的平坦时空下。

ABSTRACT

Having started with the general formulation of the quantum theory of the real scalar field (QFT) in the general Riemannian space--time $ V_{1,3} $, the general--covariant quasinonrelativistic quantum mechanics of a point-like spinless particle in $ V_{1,3} $ is constructed. To this end, for any normal geodesic 1+3--foliation of $ V_{1,3} $, a space $Φ^-$ of asymptotic in $c^{-1}$ solutions of the field equation is specified, which can be mapped to a space $Ψ$ of solutions of a Schrödinger equation with an (asymptotically) Hermitean hamiltonian and the Born probabilistic interpretation of the vectors of $Ψ$. The basic operators of the momentum and the spatial position of the particle acting in $Ψ$ generated by the corresponding observables of QFT include relativistic corrections, and therefore differ generally from those which follow for the geodesic motion in $ V_{1,3} $ from the canonical postulates of quantization. In particular, the operators of coordinates do not commute as well as the operators of the conjugate momenta, except the cases of Cartesian coordinates in the Minkowski space--time or of the exact nonrelativistic limit $(c^{-1} = 0)$. This approach provides QFT in the general $ V_{1,3} $ in the Fock representation with a particle interpretation based on the Born interpretation of wave functions.

研究动机与目标

• 为广义相对论兼容的弯曲时空中的无自旋点粒子构建一致的量子力学。
• 从弯曲时空中的量子场论框架推导出具有渐近厄米特哈密顿量的薛定谔方程。
• 在一般时空 $V_{1,3}$ 中建立波函数的玻恩概率解释，将福克表示扩展至弯曲背景。
• 研究相对论修正如何改变弯曲时空中的标准量子力学算符（位置、动量）。
• 阐明标准非相对论性量子力学从该一般框架中出现的条件。

提出的方法

• 从一般黎曼时空 $V_{1,3}$ 中实标量场的量子场论（QFT）的一般形式出发。
• 识别出场方程的渐近解空间 $\Phi^-$，其形式为光速 $c$ 的负幂次，适用于准非相对论极限。
• 将 $\Phi^-$ 映射到一个希尔伯特空间 $\Psi$，该空间是具有渐近厄米特哈密顿量的薛定谔方程的解空间。
• 通过相应的QFT可观测量定义 $\Psi$ 中的动量与空间位置算符，包含相对论修正。
• 采用正常测地线 1+3 叶状结构来以广义协变方式定义时间演化与空间结构。
• 应用玻恩规则，将 $\psi \in \Psi$ 解释为粒子局域化与动量的概率振幅。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从一般弯曲时空中的量子场论推导出点粒子的一致量子力学？
• RQ2 在一般时空中，标准量子力学算符（位置与动量）的相对论修正为何？
• RQ3 位置与动量算符在何种条件下对易，又在何种条件下不对易？
• RQ4 在此框架下，波函数的玻恩概率解释如何推广至弯曲时空？
• RQ5 该构造在何种极限下退化为标准非相对论性量子力学？

主要发现

• 所构建的量子力学是广义协变的，基于弯曲时空QFT的福克表示。
• 薛定谔方程中的哈密顿量是渐近厄米特的，确保在 $c^{-1}$ 展开中实现幺正时间演化。
• 从QFT可观测量导出的动量与位置算符包含相对论修正，且一般情况下不满足对易关系。
• 坐标与动量算符的非对易性出现在所有时空中，除非 $c^{-1} = 0$（即非相对论极限）或在闵氏时空中使用笛卡尔坐标。
• 该框架通过在 $\Psi$ 中的波函数应用玻恩规则，为弯曲时空中的QFT提供了粒子图像。
• 该方法通过将时空曲率和相对论效应直接纳入算符代数，推广了标准的正则量子化。