[论文解读] Quantum Mechanics in the Infrared

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于平坦目标空间上量子力学的代数重整化群（RG）框架，通过基于哈密顿量的粗粒化方法，利用群结构实现长时间演化。结果表明，红外固定点为经典概率理论，其结果分布的熵可作为量子遍历性的诊断工具——为研究长时间量子动力学与混沌提供了一种全新的非微扰工具。

ABSTRACT

This paper presents an algebraic formulation of the renormalization group flow in quantum mechanics on flat target spaces. For any interacting quantum mechanical theory, the fixed point of this flow is a theory of classical probability, not a different effective quantum mechanics. Each energy eigenstate of the UV Hamiltonian flows to a probability distribution whose entropy is a natural diagnostic of quantum ergodicity of the original state. These conclusions are supported by various examples worked out in some detail.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的量子力学重整化群程序，以捕捉长时间动力学，区别于标准的威尔逊型RG。
• 理解量子系统在红外（IR）极限下的行为，特别是量子态在长时间粗粒化下的演化。
• 确定红外极限是有效量子理论还是经典统计理论，特别是在混沌系统中。
• 引入一种新诊断工具——红外概率分布的熵——用于量子遍历性，其基础为代数消去法。
• 探讨群结构在定义可观测量和粗粒化中的作用，特别是在有限维希尔伯特空间中的系统。

提出的方法

• 基于代数消去法构建基于哈密顿量的RG流，其中可观测量通过限制到原始代数的子代数来实现粗粒化。
• 将该方法应用于平坦群流形（如环面）上的量子力学，利用群结构定义一致的时间离散化粗粒化。
• 以路径积分公式为动机，但避免直接使用路径积分方法，转而聚焦于算子代数和谱分解。
• 将红外极限定义为重复消去的结果，导致能量本征态上的经典概率分布。
• 通过初始态与能量本征态之间的重叠函数，计算结果概率分布的熵，作为量子遍历性的度量。
• 将该框架扩展至有限维希尔伯特空间，特别是维度为 $N = 2^n$ 的情形，并通过单步消去法推广至素数 $N$ 的情形，进入经典区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长时间粗粒化下，任意相互作用的量子力学系统在红外极限下的固定点是什么？
• RQ2 是否可以在量子力学中定义一种系统化的重整化群流，以避免标准威尔逊型RG在0+1维下的局限性？
• RQ3 长时间量子动力学的极限是否导致有效量子理论或经典统计理论？
• RQ4 如何基于系统代数结构本身，而非半经典近似，来诊断量子遍历性？
• RQ5 群结构在实现一致粗粒化及定义量子力学中红外极限方面起到何种作用？

主要发现

• 任何在平坦目标空间上的相互作用量子力学系统，其红外固定点并非另一个量子理论，而是一个经典概率理论。
• 红外极限下结果概率分布的熵，是原始态量子遍历性的自然且内在的诊断工具。
• 对于维度为 $N = 2^n$ 的希尔伯特空间，重复代数消去可导致经典概率区域，其熵可通过公式 (7) 计算。
• 当 $N$ 为素数时，仅需一步消去即可进入经典概率区域，且与 $N$ 无关。
• 该框架自然地将马约拉纳费米子识别为 $bZ_2$ 量子力学在一次消去后的代数残余，对应于经典比特型自由度。
• 该方法避免了路径积分奇点，为传统RG提供了一种非微扰、代数化的替代方案，尤其适用于具有紧致、有限维希尔伯特空间的系统。