[论文解读] Quantum mechanics is the square root of a stochastic process

Marco Frasca|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出量子力学可视为随机过程的平方根，具体而言是维纳（布朗运动）过程与对称伯努利过程（抛硬币）的结合。通过将伊藤微积分推广至随机微分的分数阶幂，作者从复值扩散过程推导出薛定谔方程，表明波函数自然地从经典随机过程的平方根中涌现，从而为量子力学提供了新颖的随机基础。

ABSTRACT

We prove a theorem showing that quantum mechanics is not directly a stochastic process characterizing Brownian motion but rather its square root. This implies that a complex-valued stochastic process is involved. Schrödinger equation is immediately derived without further assumptions using Itō integrals that are properly generalized. Fluctuations in space arise from a Brownian motion and the combined effect of a stochastic process with a symmetric Bernoulli distribution typical of tossing a coin.

研究动机与目标

• 建立量子力学与经典随机过程之间数学基础的联系。
• 解决长期以来关于不存在经典随机过程支撑量子力学的质疑。
• 表明薛定谔方程自然地从维纳过程与伯努利过程的平方根组合中涌现。
• 将伊藤微积分推广至处理非整数阶随机微分幂，特别是 (dW)^{1/2}。
• 证明波函数在数学上等价于一种包含零测度分量的随机过程所导出的复概率分布。

提出的方法

• 利用正则化技术，为非整数阶维纳增量幂（如 (dW)^{1/2}）定义广义伊藤积分，确保其在均方根意义下的收敛性。
• 将维纳增量 dW 分解为 sign(dW) 和 |dW|，在伊藤微积分中将 sign(dW) 视为零测度过程，但允许其与 |dW| 的乘积产生非平凡结果。
• 引入伯努利过程（代表抛硬币）作为基本随机分量，当与布朗运动结合时，诱导出波函数的复数性质。
• 通过将平方根运算应用于随机扩散过程，推导出薛定谔方程，表明 [dX(t)]^2 产生与虚数单位 i 成比例的项。
• 将随机过程推广以包含势能项，形式为 dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2}，从而导出与含时薛定谔方程一致的修正扩散方程。
• 使用正则化方法（如 zeta 函数求和）处理由维纳增量绝对值引起的发散黎曼和。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入额外假设的前提下，从经典随机过程推导出薛定谔方程？
• RQ2 在随机微积分语境下，(dW)^{1/2} 的数学本质为何？其是否具有良好的极限定义？
• RQ3 伯努利过程（抛硬币）的引入如何使实值扩散过程转变为复值量子演化？
• RQ4 维纳过程的平方根能否重现量子力学的完整结构，包括时间演化与势能项？
• RQ5 该形式化是否规避了格拉伯特、杭吉与塔尔克纳（GHT）关于经典主方程无法重现量子跃迁概率的质疑？

主要发现

• 薛定谔方程被推导为包含维纳过程与对称伯努利过程的随机过程的平方根，且无需额外假设。
• 波函数作为复值概率振幅，自然地从实随机过程的平方根中涌现，虚数单位 i 源于伯努利过程的相位结构。
• 平方根过程 [dW]^{1/2} 导致具有复扩散系数的扩散方程，从而以 ∂ψ/∂t = -i(1/4)∂²ψ/∂X² + ... 的形式产生薛定谔方程。
• 广义伊藤积分 (dW)^{1/2} 仅在正则化后才具有良好定义，例如使用 ζ(0) = -1/2 来处理 |dW| 的发散黎曼和。
• 在随机过程 dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2} 中引入势能 V(X,t)，可导出含时薛定谔方程，证实该形式化与相互作用系统的自洽性。
• 该形式化通过证明福克-普朗克算子退化为薛定谔算子，从而规避了 GHT 的质疑，精确保留了量子跃迁概率。