[论文解读] Quantum Mechanics with Complex Time : A Comment to the Paper by Rajeev

Kazuyuki Fujii|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出对阻尼谐振子的量子力学进行重新表述，采用复数哈密顿量，表明此类系统可等价地通过复数时间的标准量子力学来描述。通过引入复数时间变量 τ = (1 − iγ/ω₁)t，耗散动力学被映射为实哈密顿量下的幺正时间演化，保持物理一致性的同时，使标准量子化技术得以应用。

ABSTRACT

In (quant-ph/0701141) Rajeev studied quantization of the damped simple harmonic oscillator and introduced a complex-valued Hamiltonian (which is normal). In this note we point out that the quantization is interpreted as a quantum mechanics with {\bf complex time}. We also present a problem on quantization of classical control systems.

研究动机与目标

• 将拉杰夫对阻尼谐振子的复数哈密顿量形式重新解释为具有复数时间的量子理论。
• 证明耗散系统的演化可重新表述为复数时间框架下的幺正演化。
• 通过确保基态能量与阻尼参数 γ 无关，解决阻尼存在下基态能量的物理一致性问题。
• 提出一个基础性问题：如何对具有外部经典场的类经典控制系统进行量子化，该问题与量子计算和退相干控制密切相关。

提出的方法

• 将经典阻尼谐振子通过状态变量 (x, p) 转化为线性系统，得到矩阵方程 dX/dt = AX。
• 通过幺正变换对矩阵 A 进行对角化，定义复数变量 z 和 z*，其满足 dz/dt = λ₋z 和 dz*/dt = λ₊z*，其中 λ₋ 和 λ₊ 为复特征值。
• 引入复数哈密顿量 H̃ = (ω₁ − iγ)zz*，通过泊松括号生成正确的经典动力学。
• 通过正则量子化，将 z → a† 和 z* → ħa 映射，得到非厄米哈密顿量 H = ħ(ω₁ − iγ)(a†a + ½)，并进行校正以保持基态能量为实数。
• 引入复数时间 τ = (1 − iγ/ω₁)t，将耗散动力学映射为实哈密顿量 H̃ = ħω₁(a†a + ½) 下的标准谐振子幺正时间演化。
• 推导复数时间 τ 下的时间演化算符 e⁻ⁱᵗᴴ 和 e⁻ⁱᵀᴴ，表明在长时间极限下系统收敛至基态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有复数哈密顿量的阻尼谐振子的量子化一致地重新解释为具有复数时间的标准量子理论？
• RQ2 在阻尼存在的情况下，复数时间的引入如何保持幺正性与物理一致性？
• RQ3 在阻尼量子系统中，如何正确处理基态能量以确保在 γ → 0 极限下保持物理一致性？
• RQ4 如何在不将场本身进行量子化的情况下，将经典控制场 f(t) 纳入量子化的耗散系统？
• RQ5 该复数时间形式化对建模量子计算系统中退相干现象有何影响？

主要发现

• 在复数哈密顿量下，阻尼振子的时间演化导致系统态渐近趋近于基态 |0⟩，波函数获得相位因子 e⁻ⁱᵗℏω/₂。
• 复数时间 τ = (1 − iγ/ω₁)t 将非幺正的耗散动力学转化为实哈密顿量 H̃ = ħω₁(a†a + ½) 下的幺正演化，恢复标准量子力学结构。
• 能量谱被重新定义为 ħ(ω₁ − iγ)n + ħω/2（n ≥ 0），确保基态能量为实数且与 γ 无关，与 γ = 0 极限一致。
• 复数时间形式化通过 τ 中的幺正演化恢复了经典解 x(t) = A e⁻ᵞᵗ sin(ω₁t + θ)，证实与经典阻尼的一致性。
• 复数时间 τ 下的时间演化给出 |ψ(τ)⟩ = e⁻ⁱᵗℏω/₂ ∑ₙ ψₙ e⁻ⁱᵗℏω₁ₙ |n⟩，表明由于 τ 的虚部导致振幅呈指数衰减。
• 本文指出一个关键开放问题：如何控制由经典外部场 f(t) 驱动的量子化耗散系统，该问题与量子计算中的退相干控制密切相关。