[论文解读] Quantum mechanics without spacetime: a case for noncommutative geometry

Tejinder P. Singh|ArXiv.org|Oct 9, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文通过采用非交换几何，提出了一种不依赖经典时空的量子力学形式化，其中时空坐标不满足对易性。它从 Doebner-Goldin 类型中引入了一种与质量相关的非线性薛定谔方程，该方程在宏观极限下退化为标准量子力学，并在普朗克尺度质量下展现出可检验的非线性效应，为量子引力理论提供了潜在的实证探测途径。

ABSTRACT

Quantum mechanics in its presently known formulation requires an external classical time for its description. A classical spacetime manifold and a classical spacetime metric are produced by classical matter fields. In the absence of such classical matter fields, quantum mechanics should be formulated without reference to a classical time. If such a new formulation exists, it follows as a consequence that standard linear quantum mechanics is a limiting case of an underlying non-linear quantum theory. A possible approach to the new formulation is through the use of noncommuting spacetime coordinates in noncommutative differential geometry. Here, the non-linear theory is described by a non-linear Schrodinger equation which belongs to the Doebner-Goldin class of equations, discovered some years ago. This mass-dependent non-linearity is significant when particle masses are comparable to Planck mass, and negligible otherwise. Such a non-linearity is in principle detectable through experimental tests of quantum mechanics for mesoscopic systems, and is a valuable empirical probe of theories of quantum gravity. We also briefly remark on the possible connection our approach could have with loop quantum gravity and string theory.

研究动机与目标

• 解决标准量子力学的基础不完备性问题，后者依赖于经典时空和外部时间。
• 发展一种即使在缺乏经典时空流形（如早期宇宙条件或孤立量子系统）的情况下依然有效的量子力学形式化。
• 探讨非交换微分几何如何作为非线性量子理论的几何基础，该理论在宏观极限下退化为标准量子力学。
• 识别一种 Doebner-Goldin 类型的非线性薛定谔方程，作为具有可观测效应的非线性量子理论基本候选，尤其在介观系统中可探测。
• 通过 D-膜动力学中非交换几何的涌现，将该方法与更广泛的量子引力计划（如环量子引力和弦理论）联系起来。

提出的方法

• 采用非交换微分几何作为基础几何框架，以非对易坐标取代经典时空。
• 利用 Doebner-Goldin 类型的非线性薛定谔方程来表述量子动力学，该方程包含与质量相关的非线性项。
• 确保该理论在宏观极限下退化为标准线性量子力学，此时量子涨落可忽略不计。
• 将不对称张量 $ h_{μ u} $ 作为动力学场，用于描述量子时空几何，类似于广义相对论中的度量张量。
• 推导 $ h_{μ u} $ 的场方程，这些方程在经典极限下应退化为爱因斯坦方程，从而构成一个非线性量子引力框架。
• 将该方法与环量子引力（作为更广泛非线性理论类的 D=0 极限）和弦理论（其中 Doebner-Goldin 方程源自 D0-膜动力学）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以一致地在不假设经典时空背景的前提下形式化量子力学？
• RQ2 从非对易时空几何中自然导出的薛定谔方程的非线性修正形式是什么？其与质量的关系如何？
• RQ3 所提出的非线性量子理论在适当极限下如何退化为标准量子力学和广义相对论？
• RQ4 Doebner-Goldin 方程与弦理论中（特别是 D-膜系统中）的量子引力效应之间存在何种联系？
• RQ5 非交换几何能否作为量子引力的自上而下、根本性框架，作为线性化引力或 LQG 等自下而上的方法的替代方案？

主要发现

• 来自 Doebner-Goldin 类型的非线性薛定谔方程自然地成为一种非微扰、背景无关的量子理论的候选理论。
• 该非线性项与质量相关，在粒子质量趋近于普朗克质量时变得显著，因此在介观系统中可能具有可观测性。
• 该理论在宏观极限下退化为标准线性量子力学，确保与现有物理理论的一致性。
• 代表量子时空几何的不对称张量 $ h_{μ u} $ 预期满足类似于爱因斯坦方程的场方程，且在经典极限下退化为爱因斯坦方程。
• Doebner-Goldin 方程独立地从弦理论中 D0-膜动力学中出现，表明非交换几何与弦论设定下量子引力之间存在深层联系。
• 该方法表明，环量子引力可被视为更广泛非线性量子引力理论类的 D=0 极限，为理解其基础地位提供了新视角。