[论文解读] Quantum mechanics without spacetime III: a proposal for a non-linear Schrodinger equation

T. P. Singh|ArXiv.org|Jun 24, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种与质量相关的非线性修正版薛定谔方程，其中非线性仅在粒子质量接近临界值 $m_c$ 时变得显著（小于普朗克质量）。当 $m = m_c$ 时，该修正保持精确线性，而由此产生的非线性动力学可能解释测量过程中的波函数坍缩，并通过修正的色散关系预测谐振子能级的可观测能量位移。

ABSTRACT

It is proposed that the Schrodinger equation for a free point particle has non-linear corrections which depend on the mass of the particle. It is assumed that the corrections become extremely small when the mass is much smaller or much larger than a critical value (the critical value being related to but smaller than Planck mass). The corrections become significant when the mass is close to this critical value and could play a role in explaining wave-function collapse. It appears that such corrections are not ruled out by present day experimental tests of the Schrodinger equation. Corrections to the energy levels of a harmonic oscillator are calculated.

研究动机与目标

• 探索与粒子质量相关的非线性修正是否可能出现在薛定谔方程中，特别是在临界质量尺度 $m_c$ 附近。
• 激发对介于基本粒子与普朗克质量之间的质量范围内的量子力学实验检验，以探测非线性效应是否可能出现。
• 提供一个理论框架，使得波函数坍缩可自然地从动力学中的质量依赖非线性中产生。
• 研究此类非线性是否与现有对量子线性性的实验约束一致。

提出的方法

• 引入一个与质量相关的函数 $A(m/m_c)$，用于修正薛定谔方程的哈密顿-雅可比形式中的非线性项。
• 通过复作用量 $S$ 重写薛定谔方程，从而得到关于 $S(q,t)$ 的非线性方程，并引入修正的动能项。
• 通过变换 $\tilde{q} = q / \sqrt{1 - A}$ 和 $\tilde{\hbar} = \hbar / (1 - A)$，将非线性方程映射为新变量下的线性薛定谔方程形式。
• 定义非线性波函数 $\psi$ 与线性波函数 $\psi_N$ 之间的关系为 $\psi_N = \psi^{1 - A}$，从而实现到具有重标定普朗克常数的线性理论的映射。
• 通过引入势能项，将该形式化方法应用于谐振子，利用变换后的变量推导出修正的能量谱。
• 推导出能量级位移为 $E = (n + 1/2) \hbar \omega / \sqrt{1 - A}$，表明当 $A \neq 0$ 时，其与标准量子力学存在可观测偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性修正是否可能以质量依赖的方式出现在薛定谔方程中，仅在接近临界质量 $m_c$ 时变得显著？
• RQ2 此类非线性是否可能解释测量过程中波函数的表观坍缩，特别是当系统质量穿过 $m_c$ 时？
• RQ3 所提出的非线性修正是否与当前对量子力学线性的实验测试保持一致？
• RQ4 此类非线性在如谐振子等量子系统中的可观测后果是什么？

主要发现

• 所提出的非线性薛定谔方程在粒子质量等于临界质量 $m_c$ 时保持精确线性，暗示存在一个根本性的相变点。
• 非线性破坏了叠加原理：虽然单个态 $\psi_{1NL}$ 和 $\psi_{2NL}$ 满足非线性方程，但它们的叠加不满足，这可能解释波函数坍缩。
• 对于谐振子，能级被修正为 $E = (n + 1/2) \hbar \omega / \sqrt{1 - A(m/m_c)}$，当 $A \neq 0$ 时，与标准量子力学存在偏差。
• 通过使用重标定变量 $\tilde{q}$、$\tilde{\hbar}$ 和 $\psi_N$ 的变换，表明非线性理论等价于一个具有修正常数的线性理论，且在新框架中保持幺正性。
• 该模型预测当 $m \ll m_c$ 或 $m \gg m_c$ 时（此时 $A \to 0$），无与标准量子力学的偏差，但在 $m_c$ 附近存在显著效应，使其在该参数区间内具有可实验检验性。
• 该框架表明，量子力学中的非线性可能与对易关系的根本性变化相关，并可能在普朗克尺度出现，尽管 $m_c$ 可能比 $m_p$ 小几个数量级。