[论文解读] Quantum Merlin-Arthur and Proofs Without Relative Phase

Roozbeh Bassirian, Bill Fefferman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用 2

一句话总结

本文研究了 QMA+——QMA 的一个变体，其中量子证明被限制为非负振幅（无相对相位）。研究发现，当存在常数级间隙时，QMA+ 可能等于 QMA 或 NEXP，具体取决于间隙参数，表明相对相位而非纠缠才是梅林欺骗能力的关键来源。该结果意味着，若 EXP ≠ NEXP，则 QMA+ 无法被放大。

ABSTRACT

We study a variant of QMA where quantum proofs have no relative phase (i.e. non-negative amplitudes, up to a global phase). If only completeness is modified, this class is equal to QMA [arXiv:1410.2882]; but if both completeness and soundness are modified, the class (named QMA+ by Jeronimo and Wu) can be much more powerful. We show that QMA+ with some constant gap is equal to NEXP, yet QMA+ with some *other* constant gap is equal to QMA. One interpretation is that Merlin's ability to "deceive" originates from relative phase at least as much as from entanglement, since QMA(2) $\subseteq$ NEXP.

研究动机与目标

• 研究 QMA+ 的复杂性——即一种量子证明无相对相位的 QMA 变体。
• 确定限制相对相位是否改变量子证明系统的计算能力。
• 探讨 QMA+ 的计算能力是否依赖于完备性-可靠性间隙。
• 阐明相对相位与纠缠在量子计算困难性中的作用。

提出的方法

• 提出一种针对 NEXP-完全问题的 QMA+ 协议，利用单个具有非负振幅的量子证明进行刚性测试。
• 设计一种稀疏性测试，强制证明具有特定结构：1/√R ∑_{j∈[R]} |j⟩|v_j⟩，其中第二寄存器大小为常数。
• 使用交换测试与振幅估计算法验证证明结构，且无需依赖多个证明。
• 应用承诺间隙放大技术，证明在某些间隙下 QMA+ 等于 QMA。
• 证明任意量子态均可通过非负振幅态以常数因子近似，从而实现可靠性分析。
• 利用如下事实：对于非负振幅态，其与 |+⟩^⊗m 的重叠等于 ℓ1 范数的 2^{-m/2} 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 QMA+ 在常数级间隙下是否可等于 NEXP？若可以，其条件为何？
• RQ2 仅限制相对相位是否会使量子证明系统的计算能力超越 QMA？
• RQ3 为何 QMA+ 在一种间隙下等于 NEXP，而在另一种间隙下等于 QMA？这种二分现象的成因是什么？
• RQ4 若 EXP ≠ NEXP，则 QMA+ 是否可被放大？这又对相对相位的作用意味着什么？

主要发现

• 在某些常数级间隙下，QMA+ 等于 NEXP，表明限制相对相位可产生最大计算能力。
• 在另一组常数级间隙下，QMA+ 等于 QMA，表明该类对间隙参数的选择极为敏感。
• 若 EXP ≠ NEXP，则 QMA+ 无法被放大，否则将导致 QMA 与 NEXP 之间的塌缩。
• 该证明依赖于对单个非负振幅证明的刚性测试，取代了 QMA+(2) 中使用的多证明稀疏性测试。
• 任意量子态均可通过非负振幅态近似，使得 QMA+ 中的接受概率至多为原始可靠性的四倍，从而实现可靠性降低。
• 结果表明，相对相位比纠缠在梅林欺骗中的作用更为关键，因为 QMA(2) ⊆ NEXP，但具有常数级间隙的 QMA+ 可达到 NEXP。