[论文解读] Quantum Merlin Arthur with Exponentially Small Gap

Bill Fefferman, Cedric Yen-Yu Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 11

一句话总结

该论文证明了具有指数级小承诺间隙的量子梅林-亚瑟证明系统——记为 QMA_exp——恰好刻画了 PSPACE，解决了具有反指数级验证间隙的问题的复杂性。作者通过证明 QMA_exp = PSPACE，展示了此类量子协议可解决任意 PSPACE 问题，且当间隙为指数级小时，精确的局部哈密顿量问题为 PSPACE-完全，表明当间隙缩小至多项式大小以下时，复杂性从 QMA 跳变至 PSPACE。

ABSTRACT

We study the complexity of QMA proof systems with inverse exponentially small promise gap. We show that this class can be exactly characterized by PSPACE, the class of problems solvable with a polynomial amount of memory. As applications we show that a "precise" version of the Local Hamiltonian problem is PSPACE-complete, and give a provable setting in which the ability to prepare PEPS states is not as powerful as the ability to prepare the ground state of general Local Hamiltonians.

研究动机与目标

• 刻画当完备性-可靠性间隙为指数级小时，QMA 证明系统的计算能力。
• 确定在具有指数级小承诺间隙时，局部哈密顿量问题是否仍为 QMA-完全。
• 在量子预言机的背景下，比较 PEPS 状态与一般局部哈密顿量基态的计算能力。
• 为具有指数级小承诺间隙的局部哈密顿量问题建立精确的复杂性分类。

提出的方法

• 作者通过证明双向包含关系来证明 QMA_exp = PSPACE：PSPACE ⊆ QMA_exp，利用具有指数级小误差的量子相位估计算法。
• 他们将 Kitaev 的局部哈密顿量问题 QMA-完全性证明进行改编，表明在具有指数级小间隙的精确版本下，该问题仍为 QMA_exp-完全。
• 该证明使用单个控制量子比特的相位估计，以区分具有指数级小分离的哈密顿量的零与非零本征值。
• 关键技术组件是使用多项式资源高效实现 e^{-iAt}，误差界为 2^{-poly(n)}，从而实现高精度本征值估计。
• 作者在经典多项式空间中对 k-局部哈密顿量的基态能量进行二分查找，表明以多项式精度计算能量是 FPSPACE-完全问题。
• 他们比较了 PEPS 状态与局部哈密顿量基态的量子预言机，表明后者在 PP = PSPACE 不成立的前提下严格更强大。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有指数级小承诺间隙定义的复杂性类 QMA_exp 是否等于 PSPACE？
• RQ2 具有指数级小承诺间隙的局部哈密顿量问题是否仍为 PSPACE-完全？
• RQ3 PEPS 状态（某些局部哈密顿量的基态）是否能模拟一般局部哈密顿量基态的计算能力？
• RQ4 在量子预言机背景下，PEPS 与一般局部哈密顿量的计算能力之间有何关系？
• RQ5 准备 PEPS 状态的能力是否足以解决所有可由局部哈密顿量基态解决的问题？

主要发现

• QMA_exp（即具有指数级小完备性-可靠性间隙的 QMA 协议可验证的问题类）恰好等于 PSPACE。
• 当间隙满足 b−a > 2^{-poly(n)} 时，精确的 k-局部哈密顿量问题在 3 ≤ k ≤ O(log n) 范围内为 PSPACE-完全。
• 以多项式精度计算 k-局部哈密顿量的基态能量是 FPSPACE-完全问题。
• QMA_exp = PSPACE 的证明依赖于一种改进的相位估计算法，仅使用多项式资源即可实现指数级小的可区分性。
• 在无界误差量子计算背景下，除非 PP = PSPACE，否则 PEPS 状态的计算能力严格弱于一般局部哈密顿量基态。
• 局部哈密顿量问题的复杂性从具有多项式间隙时的 QMA-完全，转变为具有指数级小间隙时的 PSPACE-完全，表明存在一个尖锐的复杂性阈值。