[论文解读] Quantum metric of non-Hermitian Su-Schrieffer-Heeger systems

Chao Chen Ye, W. L. Vleeshouwers+3 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2023

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非厄米苏-施里弗-海格（SSH）模型的量子几何框架，表明只有当量子度规张量同时包含左、右本征态时，才能完整捕捉其拓扑相图。研究揭示，非厄米性诱导出伪黎曼几何与复量子几何，其拓扑相变在数学上对应广义相对论中的类光路径，并导致量子几何的维度约化，从而实现对特定微扰的零激发响应。

ABSTRACT

Topological insulators have been studied intensively over the last decades. Earlier research focused on Hermitian Hamiltonians, but recently, peculiar and interesting properties were found by introducing non-Hermiticity. In this work, we apply a quantum geometric approach to various Hermitian and non-Hermitian versions of the Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model. We find that this method allows one to correctly identify different topological phases and topological phase transitions for all SSH models, but only when using the metric tensor containing both left and right eigenvectors. Whereas the quantum geometry of Hermitian systems is Riemannian, introducing non-Hermiticity leads to pseudo-Riemannian and complex geometries, thus significantly generalizing from the quantum geometries studied thus far. One remarkable example of this is the mathematical agreement between topological phase transition curves and lightlike paths in general relativity, suggesting a possibility of simulating space-times in non-Hermitian systems. We find that the metric in non-Hermitian phases degenerates in such a way that it effectively reduces the dimensionality of the quantum geometry by one. This implies that within linear response theory, one can perturb the system by a particular change of parameters while maintaining a zero excitation rate.

研究动机与目标

• 将量子几何分析扩展至非厄米拓扑体系，特别是SSH模型，超越标准厄米框架。
• 确定能够完整捕捉非厄米体系中拓扑相与相变的量子度规张量（QMT）的正确表述。
• 探讨非厄米性如何将量子几何从黎曼结构转变为伪黎曼或复结构。
• 建立拓扑相变与广义相对论中类光路径之间的几何对应关系。
• 证明非厄米相中的度规退化会降低量子几何的有效维度，从而在特定微扰下实现零激发率。

提出的方法

• 本研究采用基于非厄米哈密顿量的左、右本征态定义的完整双正交量子几何张量（QGT），以计算量子度规张量（QMT）。
• 针对多种SSH模型计算QMT：厄米型、伪厄米型、非互惠型（NH-SSH-NR）以及复跃迁型（NH-SSH-C）变体。
• 将QMT分解为分量：$ g_{\text{LR}} $、$ g_{\text{LL}} $ 和 $ g_{\text{RR}} $，以分析几何结构并检测标志拓扑相变的奇点。
• 通过QMT分量实部与虚部的三维可视化映射参数空间，以识别相边界与发散点。
• 将几何结构与广义相对论关联分析，识别当 $ ds^2 = 0 $ 时的情形，该情形对应类光路径，且与拓扑相变曲线完全一致。
• 考虑有限尺寸效应，并分析复跃迁幅度中相位项的作用，以证明其对QMT具有不可规范化的影响力。

实验结果

研究问题

• RQ1 非厄米体系中的量子度规张量与厄米情形相比，在捕捉拓扑相方面有何不同？
• RQ2 是否仅使用QMT中左或右本征态分量即可重建非厄米SSH模型的完整拓扑相图？
• RQ3 当使用完整双正交QGT时，非厄米体系中出现的几何结构是黎曼型、伪黎曼型还是复几何？
• RQ4 非厄米体系中的拓扑相变是否在参数空间中对应于类光路径（如广义相对论中所述）？
• RQ5 非厄米相中的度规退化如何导致量子几何有效维度的降低，并实现对特定周期微扰的零激发响应？

主要发现

• 非厄米SSH模型的完整拓扑相图仅在量子度规张量同时包含左、右本征态贡献时才能被正确识别。
• 非厄米性将量子几何从厄米情形的黎曼几何转变为伪黎曼或复几何，显著推广了量子几何的理论框架。
• 参数空间中拓扑相变曲线在数学上与度规中的类光路径（$ ds^2 = 0 $）完全一致，暗示与广义相对论之间存在几何对偶性。
• 在非厄米相中，度规张量发生退化，使量子几何的有效维度降低一位，从而在特定周期微扰下实现零激发率。
• $ LR $-分量包含完整的拓扑信息，而 $ LL $ 与 $ RR $ 分量各自仅携带一半信息，且发散方向相反（$ +\infty $ 与 $ -\infty $），证实了双正交量子力学的必要性。
• 跃迁幅度中的复相位项无法被规范消除，导致QMT为复值，提供了仅通过哈密顿量分析无法获得的额外物理信息。