[论文解读] Quantum Monte Carlo determinantal algorithm without Hubbard-Stratonovich transformation: a general consideration

A. N. Rubtsov|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2003

Theoretical and Computational Physics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于相互作用费米子的连续时间量子蒙特卡罗行列式算法，通过将作用量分解为高斯部分和微扰相互作用部分，避开了 Hubbard-Stratonovich 变换。该方法采用相互作用的幂级数展开表示配分函数，分析了符号问题和计算成本，结果表明对于非局域和时间非局域相互作用，其计算规模优于传统方案。

ABSTRACT

Continuous-time determinantal algorithm is proposed for the quantum Monte Carlo simulation of the interacting fermions. The scheme does not invoke Hubbard-Stratonovich transformation. The fermionic action is divided into two parts. One of them contains the interaction and certain additional terms; another one is purely Gaussian. The first part is considered as a perturbation. Terms of the series expansion for the partition function are generated in a random walk process. The sign problem and the complexity of the algorithm are analyzed. We argue that the scheme should be useful particularly for the systems with non-local interaction.

研究动机与目标

• 开发一种用于相互作用费米子的量子蒙特卡罗算法，避免使用 Hubbard-Stratonovich 变换。
• 解决现有行列式 QMC 方法在非局域和长程相互作用下的计算低效与符号问题。
• 实现对具有时间非局域相互作用的系统（如具有延迟相互作用或耗散的系统）的模拟。
• 在局域相互作用下实现与标准方法相当的计算规模，同时在非局域情况下提升性能。
• 提供一个通用的连续时间行列式 QMC 框架，通过优化参数以最小化符号问题。

提出的方法

• 将费米子作用量分解为高斯部分 $ S_0 $ 和微扰部分 $ W $，其中 $ S_0 $ 包含动能项和一个参数化的平移 $ \alpha $。
• 通过在相互作用顶点上的随机行走生成配分函数的幂级数展开项。
• 使用从 $ S_0 $ 推导出的完整传播子 $ G_0 $ 计算表示费米子算符缩并的行列式 $ D $。
• 通过优化参数 $ \alpha $ 以最小化平均权重 $ \overline{|W|} $，从而减轻符号问题和自相关时间。
• 算法在连续虚时下运行，避免了时间离散化带来的系统误差。
• 该算法在连续时间框架下构建，但可通过将积分替换为求和，推导出离散时间版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种不使用 Hubbard-Stratonovich 变换的行列式 QMC 算法？
• RQ2 此类算法在非局域相互作用下的计算规模与标准方案相比如何？
• RQ3 通过最优选择参数 $ \alpha $，能否有效缓解符号问题？
• RQ4 该方法在具有时间非局域相互作用的系统中是否仍保持有利的计算规模？
• RQ5 该算法是否适用于长程或延迟相互作用的系统？

主要发现

• 每次蒙特卡罗步骤的计算成本在一般 Hubbard 型模型下为 $ (\beta U N)^2 $，在哈密顿系统下为 $ N^2 $，与基于 Hubbard-Stratonovich 的标准方法的规模一致。
• 对于非局域相互作用，该算法的计算成本与局域相互作用几乎相同，而标准方案的计算成本则随 $ \beta N^2 / \tau_0 $ 增长。
• 符号问题与 Hubbard 模型下的 Hirsh 方案相当，但通过选择 $ \alpha \approx \overline{n} $ 可有效缓解，对于排斥相互作用，最优值接近 1。
• 在半满时，选择 $ \alpha = 1/2 $ 会导致奇数 $ k $ 时 $ \Omega_k = 0 $，表明存在由对称性引起的符号抵消，需在随机行走中特别处理。
• 由于未引入辅助场且采用连续时间形式，该方法可实现对时间非局域相互作用（如延迟相互作用）的模拟。
• 该算法具有通用性，可通过将积分替换为求和，推广至离散时间，同时保持相同的计算规模特性。