[论文解读] Quantum no-signalling correlations and non-local games

Ivan G. Todorov, Lyudmila Turowska|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 53被引用 9

一句话总结

本文将经典非局部游戏推广为量子-量子设置下的非局部游戏，定义了图着色和非交换图同态的量子版本。研究证明，复合游戏的完美量子策略在通道复合下仍保持完美，并通过通用算子系统上的张量积态，识别出量子正交秩与非交换图同态的量子版本。

ABSTRACT

We introduce and examine three subclasses of the family of quantum no-signalling (QNS) correlations introduced by Duan and Winter: quantum commuting, quantum and local. We formalise the notion of a universal TRO of a block operator isometry, define an operator system, universal for stochastic operator matrices, and realise it as a quotient of a matrix algebra. We describe the classes of QNS correlations in terms of states on the tensor products of two copies of the universal operator system, and specialise the correlation classes and their representations to classical-to-quantum correlations. We study various quantum versions of synchronous no-signalling correlations and show that they possess invariance properties for suitable sets of states. We introduce quantum non-local games as a generalisation of non-local games. We define the operation of quantum game composition and show that the perfect strategies belonging to a certain class are closed under channel composition. We specialise to the case of graph colourings, where we exhibit quantum versions of the orthogonal rank of a graph as the optimal output dimension for which perfect classical-to-quantum strategies of the graph colouring game exist, as well as to non-commutative graph homomorphisms, where we identify quantum versions of non-commutative graph homomorphisms introduced by Stahlke.

研究动机与目标

• 将经典非局部游戏推广至量子-量子设置，支持量子输入与输出。
• 利用算子系统与C*-代数，定义图着色与非交换图同态的量子版本。
• 建立完美策略在游戏复合下的封闭性，特别是针对量子对称与量子策略。
• 通过张量积的通用算子系统上的态，表征量子不可信（QNS）相关性。
• 解决关于量子同态传递性及迹与公平QNS相关性结构的开放问题。

提出的方法

• 引入随机算子矩阵的通用算子系统，其作为矩阵代数的商构造。
• 通过通用算子系统张量积上的态，定义QNS相关性的三个子类——量子对称、量子与局部。
• 将该框架应用于经典-量子（CQNS）相关性，通过具有迹的算子系统上的态进行表征。
• 通过通道复合引入量子游戏复合，证明完美策略在复合下保持不变。
• 利用保迹映射与纯态分解，验证复合策略保持完美且不可信。
• 将该框架应用于图着色与非交换图同态，将量子正交秩识别为图着色游戏中存在完美策略的最小输出维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部游戏如何推广以支持量子输入与输出？此类量子非局部游戏具有何种结构性质？
• RQ2 图的正交秩的量子类比是什么？它与图着色游戏中完美量子策略的存在性有何关联？
• RQ3 在何种条件下，完美量子策略对复合封闭？这与量子图同态的传递性有何关系？
• RQ4 迹与公平QNS相关性在复合下如何表现？它们具有何种不变性性质？
• RQ5 通用算子系统与张量积态在表征量子不可信相关性中起何种作用？

主要发现

• 复合量子非局部游戏的完美量子策略在通道复合下仍保持完美，确立了局部、量子与量子对称策略类的封闭性。
• 图的量子正交秩被识别为图着色游戏中存在完美经典-量子策略的最小输出维数。
• 量子非交换图同态被表征为在量子同态游戏中存在完美量子策略的那些映射，推广了Stahlke的定义。
• 迹QNS相关性类在复合下封闭，C*-代数张量积上的乘积迹保持策略的完美性。
• 随机算子矩阵的通用算子系统被实现为矩阵代数的商，为描述QNS相关性提供了通用框架。
• 量子同态的传递性得以确立：若 U →_x V 且 V →_x W，则 U →_x W，其中 x ∈ {loc, q, qc}，扩展了[71]与[57]的结果。