[论文解读] Quantum Optical Version of Classical Optical Transformations and Beyond

Hong-Yi Fan, Liyun Hu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过IWOP技术与纠缠态，建立了一个用于经典光学变换的量子光学框架，揭示了对应于菲涅尔、分数傅里叶及小波变换等变换的幺正算符。该研究推导出新的量子力学表示形式，并发现新型经典变换，如纠缠菲涅尔变换与辛小波变换，借助狄拉克符号方法统一了量子光学与经典光学。

ABSTRACT

By the newly developed technique of integration within an ordered product (IWOP) of operators, we explore quantum optical version of classical optical transformations such as optical Fresnel transform, Hankel transform, fractional Fourier transform, Wigner transform, wavelet transform and Fresnel-Hadmard combinatorial transform etc. In this way one may gain benefit for developing classical optics theory from the research in quantum optics, or vice-versa. We can not only find some new quantum mechanical unitary operators which correspond to the known optical transformations, deriving a new theorem for calculating quantum tomogram of density operators, but also can reveal some new classical optical transformations. We derive GFO's normal product form and its canonical coherent state representation and find that GFO is the loyal representation of symplectic group multiplication rule. We show that GFT is just the transformation matrix element of GFO in the coordinate representation such that two successive GFTs is still a GFT. The ABCD rule of the Gaussian beam propagation is directly demonstrated in the context of quantum optics. Especially, the introduction of quantum mechanical entangled state representations opens up a new area to finding new classical optical transformations. The complex wavelet transform and the condition of mother wavelet are studied in the context of quantum optics too. Throughout our discussions, the coherent state, the entangled state representation of the two-mode squeezing operators and the IWOP technique are fully used. All these confirms Dirac's assertion: " ... for a quantum dynamic system that has a classical analogue, unitary transformation in the quantum theory is the analogue of contact transformation in the classical theory".

研究动机与目标

• 通过狄拉克符号方法，系统地将经典光学变换映射为幺正量子光学算符。
• 为菲涅尔、分数傅里叶及小波变换等经典变换建立量子力学基础。
• 通过量子光学形式化，特别是利用纠缠态表示，发现新的经典光学变换。
• 利用广义菲涅尔算符在量子光学中演示高斯光束传播的ABCD定律。
• 通过量子光学变换扩展量子层析与正交相位分布的范围。

提出的方法

• 采用有序乘积内的积分（IWOP）技术，推导量子算符的正规有序形式与完备性关系。
• 使用相干态与连续变量的两模纠缠态作为表示基，推导经典变换的量子光学版本。
• 构建广义菲涅尔算符（GFO）作为辛群的忠实表示，从而在量子光学中推导ABCD定律。
• 应用GFO推导新变换，如复分数傅里叶变换、复小波变换与辛小波变换。
• 利用纠缠态表示揭示新经典变换，包括纠缠菲涅尔变换与菲涅尔-哈达玛组合变换。
• 在量子光学背景下推导母小波的反演公式、帕塞瓦尔定理与正交性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将菲涅尔与分数傅里叶等经典光学变换表示为量子光学中的幺正算符？
• RQ2 在量子光学形式化中，特别是利用纠缠态时，会涌现出哪些新的经典光学变换？
• RQ3 IWOP技术如何实现量子表示的正规有序形式与完备性关系的推导？
• RQ4 能否利用广义菲涅尔算符从量子力学原理出发，直接推导出高斯光束传播的ABCD定律？
• RQ5 复小波与辛小波变换的量子力学解释是什么？它们与Wigner函数和Husimi分布有何关联？

主要发现

• 广义菲涅尔算符（GFO）被推导为辛群的幺正表示，其正规有序形式通过IWOP技术获得。
• 利用GFO在量子光学中直接演示了高斯光束传播的ABCD定律，证实了其物理一致性。
• 通过量子纠缠态表示，发现了纠缠菲涅尔变换与菲涅尔-哈达玛组合变换作为新型经典光学变换。
• 在量子域中确立了复分数傅里叶变换及其可加性性质，其本征模通过量子力学方法推导得出。
• 推导出一个新定理，用于计算密度算符的量子层析图，将Wigner函数的Radon变换与菲涅尔变换联系起来。
• 在量子光学中重新表述了小波变换中母小波的条件，并利用IWOP技术证明了参数空间中的正交性质。