[论文解读] Quantum Optimal Transport

Sam Cole, Michał Eckstein+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 77被引用 11

一句话总结

本论文通过在具有固定约化密度矩阵的双粒子耦合态上最小化量子输运代价，提出了一种量子最优传输框架，表明该最小代价可通过半定规划高效计算。关键贡献在于：当代价矩阵为半正定且仅在对称矩阵上为零时，代价的平方根诱导出一种量子 Wasserstein-2 距离，该距离通过半解析公式显式计算了单量子比特态的情形。

ABSTRACT

We analyze a quantum version of the Monge--Kantorovich optimal transport problem. The quantum transport cost related to a Hermitian cost matrix $C$ is minimized over the set of all bipartite coupling states $ρ^{AB}$ with fixed reduced density matrices $ρ^A$ and $ρ^B$ of size $m$ and $n$. The minimum quantum optimal transport cost $ T^Q_{C}(ρ^A,ρ^B)$ can be efficiently computed using semidefinite programming. In the case $m=n$ the cost $ T^Q_{C}$ gives a semidistance if and only if $C$ is positive semidefinite and vanishes exactly on the subspace of symmetric matrices. Furthermore, if $C$ satisfies the above conditions, then $\sqrt{ T^Q_{C}}$ induces a quantum analogue of the Wasserstein-2 distance. Taking the quantum cost matrix $C^Q$ to be the projector on the antisymmetric subspace, we provide a semi-analytic expression for $ T^Q_{C^Q}$ for any pair of single-qubit states and show that its square root yields a transport distance on the Bloch ball. Numerical simulations suggest that this property holds also in higher dimensions. Assuming that the cost matrix suffers decoherence and that the density matrices become diagonal, we study the quantum-to-classical transition of the Earth mover's distance, propose a continuous family of interpolating distances, and demonstrate that the quantum transport is cheaper than the classical one. Furthermore, we introduce a related quantity -- the SWAP-fidelity -- and compare its properties with the standard Uhlmann--Jozsa fidelity. We also discuss the quantum optimal transport for general $d$-partite systems.

研究动机与目标

• 通过使用厄米代价矩阵，制定量子版的 Monge–Kantorovich 最优传输问题。
• 建立量子传输代价诱导出半距离的条件，特别是其作为 Wasserstein-2 距离的量子类比。
• 通过研究代价矩阵的退相干，分析最优传输的量子到经典过渡，并比较量子与经典地球移动者距离。
• 引入并分析 SWAP-保真度作为量子态相似性的新度量，与标准的 Uhlmann–Jozsa 保真度进行对比。
• 将该框架扩展至一般 d-粒子量子系统，并推导最优耦合的结构性质。

提出的方法

• 将量子最优传输问题表述为在双粒子耦合态 ρ^AB 上最小化厄米代价矩阵 C 的迹，受限于固定的约化密度矩阵 ρ^A 和 ρ^B。
• 利用半定规划（SDP）高效计算最小量子最优传输代价 T^Q_C(ρ^A,ρ^B)，借助凸优化技术。
• 识别出代价矩阵 C 的条件（半正定且仅在对称矩阵子空间上为零），使得 T^Q_C 定义为半距离，且 √T^Q_C 成为量子 Wasserstein-2 距离。
• 推导出当 C^Q 为反对称子空间上的投影算符时，最优传输代价 T^Q_{C^Q} 的半解析表达式，特别针对单量子比特态。
• 通过退相干代价矩阵研究量子到经典的过渡，并表明量子传输代价严格小于经典对应值。
• 引入 SWAP-保真度作为新的量子保真度度量，并将其性质与 Uhlmann–Jozsa 保真度进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么代价矩阵 C 的条件下，量子最优传输代价 T^Q_C(ρ^A,ρ^B) 在密度矩阵空间上定义为半距离？
• RQ2 量子最优传输代价的平方根 √T^Q_C 是否可作为经典 Wasserstein-2 距离的量子类比？在何种条件下其构成度量？
• RQ3 当代价矩阵退相干为对角矩阵时，量子最优传输代价与经典地球移动者距离相比如何？
• RQ4 当代价矩阵为反对称子空间上的投影算符时，单量子比特态的最优耦合的解析结构是什么？
• RQ5 新引入的 SWAP-保真度与标准 Uhlmann–Jozsa 保真度在单调性与几何性质方面有何关系？

主要发现

• 最小量子最优传输代价 T^Q_C(ρ^A,ρ^B) 可通过半定规划高效计算，使其在量子系统中具有计算可行性。
• 当代价矩阵 C 为半正定且仅在对称矩阵子空间上为零时，T^Q_C 定义为半距离，且 √T^Q_C 诱导出量子 Wasserstein-2 距离。
• 对于单量子比特态，当 C^Q 为反对称投影算符时，最优传输代价 T^Q_{C^Q} 具有半解析公式，其平方根在 Bloch 球上构成有效距离。
• 数值模拟表明，量子 Wasserstein-2 距离结构可超越 qubit 扩展至高维系统。
• 当代价矩阵退相干时，量子最优传输代价严格小于经典地球移动者距离，表明在传输效率上存在量子优势。
• SWAP-保真度被证明是一种有效的量子保真度度量，其性质与 Uhlmann–Jozsa 保真度不同，尤其在单调性与状态变换下的几何行为方面。