[论文解读] Quantum Optimal Transport for Tensor Field Processing

Gabriel Peyré, Lénaïc Chizat+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2016

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文提出了量子最优传输（Q-OT），一种针对张量场（即具有半正定（PSD）矩阵值的测度）的最优传输新公式，采用冯·诺依曼量子熵作为保真度度量。通过应用量子熵正则化，该方法可借助量子Sinkhorn算法实现高效计算，将经典Sinkhorn算法推广至PSD矩阵，支持在扩散张量成像、程序化噪声、各向异性网格生成以及光谱纹理合成等应用中进行barycenter计算，相较于线性插值，能更精确地保持几何保真度。

ABSTRACT

This article introduces a new notion of optimal transport (OT) between tensor fields, which are measures whose values are positive semidefinite (PSD) matrices. This "quantum" formulation of OT (Q-OT) corresponds to a relaxed version of the classical Kantorovich transport problem, where the fidelity between the input PSD-valued measures is captured using the geometry of the Von-Neumann quantum entropy. We propose a quantum-entropic regularization of the resulting convex optimization problem, which can be solved efficiently using an iterative scaling algorithm. This method is a generalization of the celebrated Sinkhorn algorithm to the quantum setting of PSD matrices. We extend this formulation and the quantum Sinkhorn algorithm to compute barycenters within a collection of input tensor fields. We illustrate the usefulness of the proposed approach on applications to procedural noise generation, anisotropic meshing, diffusion tensor imaging and spectral texture synthesis.

研究动机与目标

• 开发一种针对张量场的新最优传输框架，其中空间中每一点关联一个半正定（PSD）矩阵，以实现几何上有意义的插值与平均。
• 通过放松质量守恒条件，将非平衡最优传输推广至张量值测度，允许在传输过程中产生或销毁质量。
• 利用量子熵正则化，将经典Sinkhorn算法推广至PSD矩阵的量子设置。
• 实现多个张量场barycenter的高效计算，应用于医学影像与计算机图形学。
• 在真实世界应用中，证明Q-OT在保持张量各向异性、方向性与质量分布方面优于线性插值。

提出的方法

• 提出一种基于冯·诺依曼量子熵作为保真度项的静态、非平衡最优传输公式，用于PSD矩阵值测度之间的传输。
• 将量子熵正则化引入传输问题，将其转化为可通过迭代缩放求解的严格凸优化问题。
• 开发一种量子Sinkhorn算法，通过矩阵对数与指数函数，将经典Sinkhorn算法推广至矩阵值传输计划。
• 通过引入带有量子正则化的凸优化问题，将Q-OT框架扩展至计算多个张量场的barycenter。
• 将量子Sinkhorn算法应用于复赫米特PSD矩阵，实现基于傅里叶功率谱的光谱纹理合成。
• 采用松弛参数ρ控制质量的生成/销毁，从而在DTI数据中高个体差异情况下实现鲁棒插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 最优传输能否有意义地扩展至张量场，其中每个位置存储一个半正定矩阵，而非标量或向量测度？
• RQ2 在张量值测度背景下，如何有效建模质量不平衡（非平衡传输）的同时保持几何结构？
• RQ3 能否利用量子分歧度量，将经典Sinkhorn算法推广至矩阵值传输计划？
• RQ4 所提出的量子熵正则化是否能产生稳定、高效且可扩展的数值求解器，用于张量场传输？
• RQ5 所提出的Q-OT框架是否能在张量场插值与barycenter计算中，优于线性插值，更有效地保持各向异性和方向性？

主要发现

• 量子Sinkhorn算法收敛高效且稳定，通过迭代缩放矩阵值耦合，可快速计算张量场之间的最优传输计划。
• 使用松弛参数ρ = 0.05而非ρ = 1，显著减少了插值伪影，尤其在高变异性DTI数据中表现更优，因允许质量的生成与销毁。
• Q-OT实现了张量场的几何保真插值，同时保持张量的大小（椭圆尺寸）与各向异性/方向性，而线性插值则无法做到。
• 该方法成功计算了多个张量场的barycenter，实现了在扩散张量成像与程序化噪声生成中跨被试的一致平均。
• 在光谱纹理合成中，Q-OT实现了功率谱的视觉连贯插值，在频率带之间实现幅度与结构的平滑过渡。
• 该框架可原样推广至复赫米特PSD矩阵，使基于真实样本的傅里叶基纹理合成得以直接应用。