[论文解读] Quantum orbifold Hirzebruch-Riemann-Roch theorem in genus zero

Valentin Tonita, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过利用虚假K-理论与扭曲轨道丛不变量，将广义K-理论Gromov-Witten不变量在无量纲情形下以上同调Gromov-Witten不变量的形式表征，从而建立了量子轨道丛Hirzebruch-Riemann-Roch定理。关键结果为定理4.1，其利用虚拟Kawasaki黎曼-罗赫公式，通过经典上同调数据表达量子K-理论不变量，将先前结果推广至轨道丛情形。

ABSTRACT

We introduce K-theoretic Gromov-Witten invariants of algebraic orbifold target spaces. Using the methods developed by Givental-Tonita we characterize Giventals Lagrangian cone of quantum K theory of orbifolds in terms of the cohomological cone.

研究动机与目标

• 将K-理论Gromov-Witten不变量推广至光滑射影Deligne-Mumford轨道丛。
• 通过虚假与扭曲不变量，利用上同调数据表征量子K-理论拉格朗日锥。
• 将无量纲量子黎曼-罗赫对应关系推广至轨道丛情形。
• 通过虚拟Kawasaki黎曼-罗赫技术，建立量子轨道丛Hirzebruch-Riemann-Roch定理。

提出的方法

• 利用Deligne-Mumford堆栈上扭曲稳定映射的模空间，引入轨道丛的K-理论Gromov-Witten不变量。
• 定义虚假K-理论不变量与扭曲轨道丛不变量作为中介，其可完全以上同调形式表达。
• 应用虚拟Kawasaki黎曼-罗赫公式，计算轨道丛稳定映射模空间上虚拟结构层的欧拉示性数。
• 使用环路空间形式化，将无量纲K-理论Gromov-Witten不变量编码于拉格朗日锥$\mathcal{L}^\mathcal{K}$中。
• 借助Givental形式化与$S$-矩阵，通过哈密顿-雅可比方法关联不变量的生成函数。
• 通过截断与平移操作，建立量子K-理论势函数与上同调数据之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为光滑射影Deligne-Mumford轨道丛定义K-理论Gromov-Witten不变量？
• RQ2 轨道丛的量子K-理论拉格朗日锥能否完全通过上同调Gromov-Witten不变量表征？
• RQ3 虚拟Kawasaki黎曼-罗赫公式在轨道丛模空间上关联K-理论与上同调不变量中起何作用？
• RQ4 虚假与扭曲不变量在无量纲情形下如何弥合K-理论与上同调量子不变量之间的鸿沟？
• RQ5 在何种程度上，可从虚拟黎曼-罗赫公式与Givental形式化推导出量子轨道丛Hirzebruch-Riemann-Roch定理？

主要发现

• 定理4.1完整表征了量子K-理论拉格朗日锥$\mathcal{L}^\mathcal{K}$上的点，其基于虚假K-理论与扭曲轨道丛不变量。
• 虚假与扭曲不变量可完全以上同调Gromov-Witten理论形式表达，从而实现量子K-理论向经典上同调数据的完全约化。
• 虚拟Kawasaki黎曼-罗赫公式在计算轨道丛稳定映射模空间上虚拟结构层的贡献时起关键作用。
• 无量纲K-理论不变量的生成函数满足哈密顿-雅可比方程，通过$S$-矩阵与截断操作与上同调势函数相联系。
• 量子K-理论中的祖先势函数通过涉及$[S_{\tau}\mathbf{q}]_{+}$与$\tau$的平移与截断操作，与上同调势函数相关联，如公式(B.13)所形式化。
• 量子轨道丛Hirzebruch-Riemann-Roch定理由量子K-理论与上同调不变量之间的精确对应关系实现，将先前结果推广至轨道丛情形。