[论文解读] Quantum Ordered Binary Decision Diagrams with Repeated Tests

Matthias Homeister, Stephan Waack|ArXiv.org|Jul 27, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了允许重复变量测试的量子有序二叉决策图（QOBDDs），证明此类模型可仅使用多项式大小的标准QOBDDs来模拟多项式大小的k-QOBDDs（k ≥ 1）。关键贡献是通过张量积态和酉变换提出了一种构造性模拟方法，证明重复测试并不会使计算能力超越多项式大小QOBDDs已具备的能力。

ABSTRACT

Quantum branching programs (quantum binary decision diagrams, respectively) are a convenient tool for examining quantum computations using only a logarithmic amount of space. Recently several types of restricted quantum branching programs have been considered, e. g. read--once quantum branching programs. This paper considers quantum ordered binary decision diagrams (QOBDDs) and answers the question: How does the computational power of QOBDDs increase, if we allow repeated tests. Additionally it is described how to synthesize QOBDDs according to Boolean operations.

研究动机与目标

• 研究当允许重复变量测试时，量子有序二叉决策图（QOBDDs）的计算能力如何提升。
• 确定在QOBDD中重复测试是否能计算出标准QOBDD无法处理的函数。
• 开发一种使用多项式大小标准QOBDDs模拟k-QOBDDs的构造性方法。
• 建立在重复测试下QOBDD表达能力的理论界限，特别是与量子复杂度类的关系。
• 提供一种通过布尔运算合成QOBDDs的框架，实现量子决策图的实际构建。

提出的方法

• 构建一个k-QOBDD的模拟，使用宽度为w^k的张量积空间，其中每个分量代表一个独立的QOBDD计算路径。
• 定义一个酉变换V，用于制备k-QOBDD所有可能初始状态的叠加，包括用于拒绝和接受的辅助态|t₀⟩和|t₁⟩。
• 使用张量积酉操作Uᵢ(a) = U₁(a) ⊗ … ⊗ Uₖ(a)来模拟k个独立QOBDD在输入a下的联合演化。
• 定义一个新的QOBDD ℬ′，其状态空间为D′ = D⊗ ∪ {|t₀⟩, |t₁⟩}，其中D⊗表示原始状态空间的k个副本的张量积。
• 构建酉变换T′ᵢ^ε，使其在D⊗上作用为Tᵢ^ε，在{|t₀⟩, |t₁⟩}上作用为恒等变换，从而保持原始QOBDD结构。
• 使用最终态振幅|ψₗ(a)⟩ = T′^εₗₗ … T′^ε₁₁ V |1…1⟩，通过与F′中接受态的内积计算接受概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 与标准QOBDD相比，允许QOBDD中重复测试是否显著提升其计算能力？
• RQ2 对于任意固定的k ≥ 1，多项式大小的QOBDD是否能以无界误差模拟k-QOBDD？
• RQ3 k-QOBDD的接受概率与其模拟的QOBDD对应物之间有何关系？
• RQ4 如何利用酉变换和叠加态在单个QOBDD框架内模拟多个QOBDD路径？
• RQ5 是否存在一种构造性方法，通过张量积态合成QOBDDs，以保持多个独立QOBDDs的行为？

主要发现

• 任何由多项式大小的k-QOBDDs（无界误差）可计算的布尔函数序列，也可由多项式大小的标准QOBDD计算。
• 模拟QOBDD ℬ′的接受概率为acc_{ℬ′}(a) = (1/(2m)) Σ_{j∈F} |β_j(a)|² + (2m−1)/(4m)，其中m = w^{k−1}。
• 若一个k-QOBDD以至少1/2的概率接受输入a，则其模拟的QOBDD ℬ′也以至少1/2的概率接受该输入。
• 该模拟使用了k个独立QOBDD所有可能初始配置的叠加，实现在单个QOBDD内的并行计算。
• 该构造确保了酉性，并在所有计算路径上保持振幅结构，从而在测量下保持正确性。
• 该结果表明，重复测试并未将QOBDD的计算能力扩展至标准多项式大小QOBDD所能达到的范围之外。