[论文解读] Quantum Pascal's Triangle and Sierpinski's carpet

Tom Bannink, Harry Buhrman|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

History and Theory of Mathematics参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过Hadamard量子行走引入了Pascal三角形的量子类比，证明当振幅被缩放为整数并模3约简时，会涌现出Sierpinski地毯分形。作者利用Lucas定理证明了这一点，并将该现象推广至一类量子行走，揭示了经典Pascal三角形中不存在的新分形结构。

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle. Pascal's triangle is a well-known triangular array of numbers and when these numbers are plotted modulo 2, a fractal known as the Sierpinski triangle appears. We first prove the appearance of more general fractals when Pascal's triangle is considered modulo prime powers. The numbers in Pascal's triangle can be obtained by scaling the probabilities of the simple symmetric random walk on the line. In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle by replacing the random walk by the quantum walk known as the Hadamard walk. We show that when the amplitudes of the Hadamard walk are scaled to become integers and plotted modulo three, a fractal known as the Sierpinski carpet emerges and we provide a proof of this using Lucas's theorem. We furthermore give a general class of quantum walks for which this phenomenon occurs.

研究动机与目标

• 通过量子行走，特别是Hadamard行走，探索Pascal三角形的量子类比。
• 研究当量子行走振幅模素数幂约简时涌现的分形结构。
• 证明在模3下，量子行走振幅中Sierpinski地毯分形的出现。
• 将分形现象的出现推广至Hadamard行走之外的一类量子行走。
• 通过Lucas定理建立量子行走振幅与数论性质之间的联系。

提出的方法

• 使用Hadamard矩阵作为量子比特翻转操作和位移操作，在一维线上建模Hadamard量子行走。
• 使用幺正算符 $ U = S(I \otimes H) $ 推导行走的振幅演化，其中 $ S $ 为位移操作，$ H $ 为Hadamard量子比特。
• 通过将 $ H $ 替换为 $ \sqrt{2}H $，将振幅缩放为整数，从而获得整数值振幅。
• 对缩放后的振幅应用模运算，特别是模3，以揭示分形图案。
• 利用Lucas定理正式证明，当模3约简时，所得图案为Sierpinski地毯。
• 分析振幅三角形的对角线，推导递推关系，并展示分形的自相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当振幅模素数约简时，量子行走类比Pascal三角形是否会产生分形结构？
• RQ2 为何Sierpinski地毯出现在Hadamard行走振幅模3下，而不会出现在经典Pascal三角形中？
• RQ3 能否将Lucas定理应用于证明量子行走振幅中分形的出现？
• RQ4 哪一类量子行走会在振幅模约简下产生分形图案？
• RQ5 量子行走三角形中对角线的递推关系与经典Pascal三角形中的关系有何比较？

主要发现

• 当Hadamard行走的振幅被缩放为整数并模3约简时，Sierpinski地毯分形会涌现。
• 通过Lucas定理严格证明了Sierpinski地毯的出现，为该分形图案建立了数论基础。
• 当Pascal三角形模素数幂考虑时，会出现比Sierpinski三角形更一般的分形，扩展了已知结果。
• 在缩放后的量子行走三角形中，每一行所有振幅之和始终为2的幂，保持了与经典Pascal三角形相似的结构性质。
• 量子行走振幅三角形的对角线满足线性递推关系，红色与蓝色分量具有不同的初始条件，从而导致分形自相似性。
• 识别出一类量子行走，其在振幅模约简下会出现分形涌现现象。