[论文解读] Quantum Physics, Relativity, and Complex Spacetime: Towards a New Synthesis

Gerald Kaiser|ArXiv.org|Oct 2, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文通过将时空扩展至复几何，提出了一套统一量子物理与相对论的框架，其中正向域 T+ 中的相对论相干态为克莱因-高登和狄拉克粒子提供了协变的概率解释。关键结果是 |f(x−iy)|² 在 6 维相空间上给出正定且守恒的概率密度，通过解析延拓与再生核希尔伯特空间，解决了实时空中的负概率问题。

ABSTRACT

The positivity of the energy in relativistic quantum mechanics implies that wave functions can be continued analytically to the forward tube T in complex spacetime. For Klein-Gordon particles, we interpret T as an extended (8D) classical phase space containing all 6D classical phase spaces as symplectic submanifolds. The evaluation maps $e_z: f o f(z)$ of wave functions on T are relativistic coherent states reducing to the Gaussian coherent states in the nonrelativistic limit. It is known that no covariant probability interpretation exists for Klein-Gordon particles in real spacetime because the time component of the conserved "probability current" can attain negative values even for positive-energy solutions. We show that this problem is solved very naturally in complex spacetime, where $|f(x-iy)|^2$ is interpreted as a probability density on all 6D phase spaces in T which, when integrated over the "momentum" variables y, gives a conserved spacetime probability current whose time component is a positive regularization of the usual one. Similar results are obtained for Dirac particles, where the evaluation maps $e_z$ are spinor-valued relativistic coherent states. For free quantized Klein-Gordon and Dirac fields, the above formalism extends to n-particle/antiparticle coherent states whose scalar products are Wightman functions. The 2-point function plays the role of a reproducing kernel for the one-particle and antiparticle subspaces.

研究动机与目标

• 解决克莱因-高登与狄拉克粒子在相对论量子力学中长期存在的负概率问题。
• 通过复时空，特别是正向域 T+，在几何上统一时空与经典相空间。
• 通过波函数的解析延拓，为相对论粒子建立协变且正定的概率解释。
• 将形式体系扩展至自由量子化场，构造 n 体粒子/反粒子相干态，其内积为威格特曼函数。
• 证明两点函数在复时空的相空间框架中，作为单粒子与反粒子子空间的再生核。

提出的方法

• 将正能量波函数从实闵可夫斯基时空解析延拓至复时空中的正向域 T+（8 维）。
• 对 z ∈ T+ 定义评价映射 ez(f) = f(z)，作为相对论相干态，将高斯相干态推广至相对论领域。
• 将 |f(x−iy)|² 作为参数化为 (x,y) 的 6 维相空间上的概率密度，其中 y 代表动量变量。
• 对 y 积分以恢复一个守恒的时空概率流，其时间分量为正且被正则化。
• 通过福克空间与再生核结构，对自由克莱因-高登与狄拉克场应用该理论，构造 n 体/反粒子相干态。
• 在复相空间框架中，将两点威格特曼函数识别为单粒子与反粒子子空间的再生核。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不出现负概率的情况下，为相对论粒子构建一致且协变的概率解释？
• RQ2 经典相对论粒子相空间如何在复时空结构中实现几何嵌入？
• RQ3 解析延拓与相干态在调和量子力学与狭义相对论之间的关系中起什么作用？
• RQ4 威格特曼函数如何在复时空相干态的背景下作为再生核出现？
• RQ5 该形式体系能否以相对论不变的方式扩展至多体系统与第二量化场？

主要发现

• |f(x−iy)|² 在正向域 T+ 内所有 6 维相空间上提供正定且守恒的概率密度。
• 通过在动量变量 y 上积分得到的概率流时间分量为正，且对实时空中的标准负值进行了正则化。
• 对于 z ∈ T+ 的相对论相干态 ez(f) = f(z) 推广了高斯相干态，在非相对论极限下退化为高斯相干态。
• 对于自由克莱因-高登场，该形式体系生成 n 体/反粒子相干态，其内积由威格特曼函数给出。
• 两点威格特曼函数在复相空间框架中，作为单粒子与反粒子子空间的再生核。
• 该构造为基于复时空与相干态的统一场论提供了几何与代数基础。