[论文解读] Quantum potential with no perturbative series, and nonperturbative vacuum dominated by complex classical paths

Edward Shuryak|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2026

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 0

一句话总结

本论文提出一个一维量子力学势能，其微扰级数在所有阶数上均消失，但存在非微扰真空能量，由解决全纯牛顿方程的复数经典路径（复合类逼近，complex bions）所产生。通过数值方法探索真空能量，并将其与复数类逼近的作用相关联。

ABSTRACT

Spectra of standard 1d potentials (double-well, sin-Gordon etc) are given by trans-series in coupling, including (badly divergent) perturbative series (PS), and nonperturbative terms. All of them are badly defined (e.g. PS are badly divergent) but in sum supposed to be good. In this paper we discuss an example of a potential with specially defined couplings making PS completely absent. We calculate its nonperturbative vacuum energy and show that they are reproduced by the action of certain complex solutions to holomorphic Newton equation.

研究动机与目标

• 证明对于特定的一维量子哈密顿量，微扰修正对所有阶数相互抵消。
• 显示尽管微扰级数为零，真空能量具有非微扰性质。
• 识别并分析作为主要非微扰贡献的复数经典路径（complex bions）。
• 将数值真空能量与 holomorphic Newton 方程的复合类逼近解的作用联系起来。

提出的方法

• 使用标准微扰理论计算基态能量的微扰修正，并显示 O(a^2) 的抵消。
• 构建并分析哈密顿量的矩阵表示以达到更高阶，并证明抵消持续存在（直至已检验的阶数）。
• 将薛定谔方程转化为 Riccati 形式，显示系数在所有阶上的消失。
• 在耦合值 a 的范围内数值计算非微扰真空能量 E0(a)。
• 数值求解全纯牛顿方程以获得复数类逼近解及其作用。
• 将从薛定谔方程推导的真空能量与 exp(-Re(S))（乘以行列式因子前的）进行比较。

Figure 1: The splitting of the negative-parity state from the vacuum, $gap=E_{-}-E_{+}$ , shown as data points. The three curves correspond to one-, two-, and three-loop semiclassical approximations.

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一个特定的一维量子力学势，使微扰级数在所有阶数上都消失？
• RQ2 在没有微扰理论的情况下，真空能量的非微扰贡献性质为何？
• RQ3 复杂的经典路径（complex bions）是否解释非微扰真空能量，以及它们的作用如何？
• RQ4 数值计算得到的复数类逼近的作用与耦合 a 下观察到的真空能量行为有何关系？

主要发现

• 在来自不同哈密顿量项的贡献相加时，阶数为 a^2 的微扰修正相互抵消。
• 对于一类广义势，基态能量的微扰在至少 a^8 处抵消。
• 通过 Riccati 形式分析时，所有阶的微扰係数消失，得到一个非物理但可归一化的解，推动非微扰分析的必要性。
• 真空能量 E0(a) 非零且非微扰，在小 a 时的行为与典型微扰势明显不同。
• 对于不同初始方向存在数值解的复数类逼近，且总作用相同，虚部为 π，确保 exp(-S) 为实数。
• 从复数类逼近作用推导的真空能量在总体上与数值得到的 E0(a) 相符，且存在一个对应的涨落-行列式因子 (C_det)。
• 研究支持一个以相关的瞬子–反瞬子样配置实现的非微扰真空为主导的情形，即复数类逼近。

Figure 2: Potentials for $a=0,0.2,0.3,0.4$ (red,blue, orange,green).