[论文解读] Quantum quasi-shuffle algebras II. Explicit formulas, dualization, and representations

Run-Qiang Jian|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过混杂shuffle（mixable shuffles）方法，为量子 quasi-shuffle 代数提供了显式公式，构建了其对偶的辫子型余代数结构，并在交换辫子型 Rota-Baxter 代数上建立了表示。其关键贡献在于将多重 $q$-zeta 值重新表述为由这些表示导出的形式幂级数的取值，从而建立了量子 quasi-shuffle 代数与多重 zeta 值的 $q$-模拟之间的联系。

ABSTRACT

Using the concept of mixable shuffles, we formulate explicitly the quantum quasi-shuffle product, as well as the subalgebra generated by primitive elements of the quantum quasi-shuffle bialgebra. We construct a braided coalgebra structure which is dual to the quantum quasi-shuffle algebra. We provide representations of quantum quasi-shuffle algebras on commutative braided Rota-Baxter algebras. As an application, we establish a formal power series whose terms come from a special representation of some kind of quasi-shuffle algebra and whose evaluation at 1 is the multiple $q$-zeta values.

研究动机与目标

• 通过混杂 shuffle 的概念，为量子 quasi-shuffle 乘积提供显式公式。
• 利用张量代数的普遍性质，构造量子 quasi-shuffle 代数的辫子型余代数对偶。
• 在交换辫子型 Rota-Baxter 代数上，发展量子 quasi-shuffle 代数的表示。
• 将这些表示应用于将多重 $q$-zeta 值表达为形式幂级数的取值。

提出的方法

• 使用混杂 shuffle 显式描述张量代数 $T(V)$ 上的量子 quasi-shuffle 乘积，推广经典 quasi-shuffle 乘积。
• 利用混杂 shuffle 定义由原始元素生成的子代数，揭示其在量子 quasi-shuffle 双代数中的结构。
• 利用张量代数的普遍性质，在辫子型余代数 $C$ 上构造 $T(C)$ 上的辫子型余代数结构。
• 证明该辫子型余代数的对偶同构于量子 quasi-shuffle 代数。
• 定义从量子 quasi-shuffle 代数正部到交换辫子型 Rota-Baxter 代数的代数映射 $\overline{f}$，以实现模作用。
• 利用映射 $\overline{f}$ 定义形式幂级数，其在 $t=1$ 处的取值即为 $q$-模拟的多重 zeta 值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过混杂 shuffle 显式表述量子 quasi-shuffle 乘积？
• RQ2 在量子 quasi-shuffle 双代数中，由原始元素生成的子代数的结构是什么？
• RQ3 能否为量子 quasi-shuffle 代数构造其对偶的辫子型余代数结构？
• RQ4 量子 quasi-shuffle 代数如何作用于交换辫子型 Rota-Baxter 代数？
• RQ5 能否将多重 $q$-zeta 值表示为由这些表示导出的形式级数的取值？

主要发现

• 通过混杂 shuffle 显式描述了量子 quasi-shuffle 乘积，提供了超越归纳定义或普遍性质定义的构造性公式。
• 利用混杂 shuffle 描述了由原始元素生成的子代数，为其在双代数中的具体实现提供了清晰刻画。
• 利用张量代数的普遍性质，构造了 $T(C)$ 上的辫子型余代数结构，其为量子 quasi-shuffle 代数的对偶。
• 通过代数映射 $\overline{f}$，量子 quasi-shuffle 代数在交换辫子型 Rota-Baxter 代数上实现作用，推广了其在多项式代数上的已知作用。
• 定义了形式幂级数 $Z_q(i_1,\ldots,i_k;t)$，其在 $t=1$ 处的取值即为 Zudilin 的多重 zeta 值的 $q$-模拟。
• 对于合法指标，通过将 $\overline{f}$ 应用于 $((1-q)t^n)^{*i}$ 构造了级数 $\zeta_q(i_1,\ldots,i_k;t)$，其在 $t=1$ 处的取值恢复了 Bradley 的多重 $q$-zeta 值。