[论文解读] Quantum quench and thermalization to GGE in arbitrary dimensions and the odd-even effect

Parijat Banerjee, Adwait Gaikwad+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2019

Quantum many-body systems参考文献 63被引用 21

一句话总结

本文研究了在任意空间维度下自由标量场理论中的量子淬火动力学，表明在突然将质量淬火至零后，局域关联函数会演化至广义吉布斯系综（GGE）。通过在 d+1 维中的精确计算，揭示了奇偶效应：当 d 为奇数时，弛豫呈指数形式；当 d 为偶数时，弛豫呈幂律形式，且其行为对初始条件和无关算符具有详细依赖性。该工作将 1+1D 的结果推广至高维，并为自由理论中的非平衡热化建立了一个普遍框架。

ABSTRACT

In many quantum quench experiments involving cold atom systems the post-quench system can be described by a quantum field theory of free scalars or fermions, typically in a box or in an external potential. We work with free scalars in arbitrary dimensions generalizing the techniques employed in our earlier work \cite{Mandal:2015kxi} in 1+1 dimensions. In this paper, we generalize to $d$ spatial dimensions for arbitrary $d$. The system is considered in a box much larger than any other scale of interest. We start with the ground state, or a squeezed state, with a high mass and suddenly quench the system to zero mass ("critical quench"). We explicitly compute time-dependence of local correlators and show that at long times they are described by a generalized Gibbs ensemble (GGE), which, in special cases, reduce to a thermal (Gibbs) ensemble. The equilibration of {\it local} correlators can be regarded as `subsystem thermalization' which we simply call 'thermalization' here (the notion of thermalization here also includes equlibration to GGE). The rate of approach to equilibrium is exponential or power law depending on whether $d$ is odd or even respectively. As in 1+1 dimensions, details of the quench protocol affect the long time behaviour; this underlines the importance of irrelevant operators at IR in non-equilibrium situations. We also discuss quenches from a high mass to a lower non-zero mass, and find that in this case the approach to equilibrium is given by a power law in time, for all spatial dimensions $d$, even or odd.

研究动机与目标

• 将自由标量场的量子淬火动力学从1+1维推广至任意空间维度 d。
• 确定并阐明在突然淬火至临界点（零质量）后，局域关联函数是否以及如何演化至广义吉布斯系综（GGE）。
• 研究初始态制备方式——特别是基态与压缩态——对长时间行为及弛豫速率的影响。
• 揭示在不同维度下弛豫动力学中奇偶效应的起源，特别是两点函数的时间依赖性。
• 通过Kaluza-Klein解释和广义Calabrese-Cardy（gCC）态，建立淬火后态与热/ GGE 关联函数之间的联系。

提出的方法

• 研究采用从高质质量初始哈密顿量到临界（零质量）最终哈密顿量的突然量子淬火协议，适用于 d 个空间维度。
• 通过精确的模展开和傅里叶变换计算标量场的时间依赖两点函数，对任意 d 的动量积分进行细致处理。
• 证明淬火后态等价于广义Calabrese-Cardy（gCC）态，其特征为一组无穷多的守恒荷，从而实现对GGE的精确分析。
• 利用围道积分和特殊函数（贝塞尔函数、修正贝塞尔函数、诺伊曼函数、多伽玛函数）计算关联函数的长时间渐近行为。
• 从包含守恒荷 μ(k) 的密度矩阵推导出GGE两点函数，并证明当 μ(k) ∝ βω(k) 时，其与热极限形式一致。
• 发展了一种Kaluza-Klein解释，将GGE关联函数映射至高维场论，将弛豫行为与紧致化的额外维联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意 d 维下，自由标量场理论中局域关联函数向广义吉布斯系综（GGE）的热化行为是否仍成立，超出1+1维？
• RQ2 在 d 个空间维度下，量子淬火后关联函数弛豫至平衡态的函数形式是什么？其行为如何依赖于 d 的奇偶性？
• RQ3 初始条件（特别是基态与压缩态）如何影响长时间行为及GGE的出现？
• RQ4 在非平衡量子场论的红外（IR）区域中，无关算符在决定弛豫动力学中的作用是什么？
• RQ5 d+1维中的GGE关联函数能否通过高维Kaluza-Klein紧致化来解释？这对守恒荷的结构有何启示？

主要发现

• 对于临界淬火（质量归零），⟨φφ⟩ 两点函数的长时间行为表现出奇偶效应：当 d 为奇数时呈指数衰减，当 d 为偶数时呈幂律衰减 ∼1/t²。
• 在 2+1 维（d=2）中，长时间 ⟨φφ⟩ 关联函数衰减为 1/(128π²κ²t²) + (3r² + 16κ²²)/(211π²κ²t⁴) + O(t⁻⁶)，确认了幂律弛豫行为。
• 在 4+1 维（d=4）中，⟨φφ⟩ 关联函数渐近趋于 1/(128π²κ²t²) + (3r² + 16κ²²)/(211π²κ²t⁴)，具有相同的幂律依赖关系。
• 对于非零质量的淬火（即非临界情况），所有 d 下的弛豫行为均为时间的幂律，与奇偶性无关，其主导项为 ∼1/t²。
• 在 d=4 时，热两点函数被证明为 ⟨φφ⟩_β ≈ i/(8π²t³) − 1/(8π²βt²) + β/(16π²t⁴) + O(t⁻⁶)，在 t⁻³ 处存在紫外奇点。
• GGE关联函数以闭式表达为 ⟨φφ⟩_μ = 1/2 ∫ ddk/(2π)^d e^{i⃗k·⃗x} / ω_out [cos(ω_out t) coth(μ(k)/2) − i sin(ω_out t)]，当 μ(k) ∝ βω(k) 时，其退化为热形式。