[论文解读] Quantum recursion theory

Karl Svozil|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 1994

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文在量子信息与计算的背景下重新审视了经典的哥德尔不完备性与判定性不可判定定理，认为语义悖论（如说谎者悖论和理查德悖论）是这些结果的根源。通过重新诠释康托尔与图灵所使用的对角化方法，本文表明量子计算要求对这些基础定理进行修正，特别是关于停机问题在量子框架下的可判定性问题。

ABSTRACT

Incompleteness and undecidability theorems have to be revised in view of quantum information and computation theory. qrt.tex 1 As has already been pointed out in Gödel’s centennial paper on the incompleteness af arithmetic [1], the classical undecidability theorems of formal logic [2] and the theory of computable functions [4, 5] are based on semantical pardoxes such as the liar [6] or Richard’s paradox. The method of diagonalization, which was first applied by Cantor for a proof of the undenumerability of real numbers [7], has been applied by Turing for a proof of the recursive undecidability of the halting problem [8]. The halting problem is the problem of whether or not an arbitrary algorithm terminates or produces a particular output and terminates. Assume that the halting problem is decidable. Turing [8] proved that this assumption yields a contradiction. To construct the contradiction, consider

研究动机与目标

• 在量子信息与计算的语境下重新表述经典的不完备性与不可判定性定理。
• 分析说谎者悖论与理查德悖论等语义悖论如何构成经典逻辑与可计算性结果的根源。
• 运用量子计算原理重新评估停机问题的不可判定性。
• 探讨量子计算是否要求对基于对角化的经典证明进行修正。
• 探究量子力学对形式系统与可计算性极限的影响。

提出的方法

• 将康托尔的对角化方法重新诠释为经典计算中证明不可判定性的基础机制。
• 将图灵的停机问题证明应用于分析假设停机问题可判定所导致的后果。
• 指出经典不可判定性依赖于说谎者悖论与理查德悖论等语义悖论。
• 利用假设停机问题可判定所导出的矛盾，重新表述经典计算的局限性。
• 提出量子计算可能改变这些基于悖论的证明的适用性或有效性。
• 建议量子信息理论要求对不可判定性与不完备性的基础进行重新评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 说谎者悖论与理查德悖论等语义悖论如何构成经典不完备性与不可判定性定理的根源？
• RQ2 停机问题的不可判定性在多大程度上依赖于经典逻辑假设？
• RQ3 量子计算能否使基于对角化的经典不可判定性证明失效或被修正？
• RQ4 与经典计算相比，对角化在量子信息理论中扮演何种角色？
• RQ5 在量子信息的背景下，逻辑与可计算性的基础应如何修正？

主要发现

• 经典计算中停机问题的不可判定性被证明依赖于说谎者悖论与理查德悖论等语义悖论。
• 康托尔与图灵所使用的对角化方法，构成了经典不完备性与不可判定性结果的核心机制。
• 假设停机问题可判定将导致逻辑矛盾，从而确认其在经典计算中的不可判定性。
• 由于新计算范式的潜力，量子信息与计算要求对这些经典结果进行重新评估。
• 本文暗示，量子系统可能规避或重新诠释由经典悖论证明所施加的限制。
• 经典逻辑与可计算性的基础假设在量子理论框架中可能无法完全适用。