[论文解读] Quantum search algorithm by adiabatic evolution under a priori probability

Zhaohui Wei, Mingsheng Ying|ArXiv.org|Dec 15, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文提出了一种利用解的概率先验知识来减少运行时间的绝热量子搜索算法，表明仅初始叠加态中解态的振幅决定了演化时间。此外，研究进一步证明通过按比例缩放初始和最终哈密顿量，可将算法的运行时间减少至与数据库大小无关的常数，这是标准Grover算法所不具备的特性。

ABSTRACT

Grover's algorithm is one of the most important quantum algorithms, which performs the task of searching an unsorted database without a priori probability. Recently the adiabatic evolution has been used to design and reproduce quantum algorithms, including Grover's algorithm. In this paper, we show that quantum search algorithm by adiabatic evolution has two properties that conventional quantum search algorithm doesn't have. Firstly, we show that in the initial state of the algorithm only the amplitude of the basis state corresponding to the solution affects the running time of the algorithm, while other amplitudes do not. Using this property, if we know a priori probability about the location of the solution before search, we can modify the adiabatic evolution to make the algorithm faster. Secondly, we show that by a factor for the initial and finial Hamiltonians we can reduce the running time of the algorithm arbitrarily. Especially, we can reduce the running time of adiabatic search algorithm to a constant time independent of the size of the database. The second property can be extended to other adiabatic algorithms.

研究动机与目标

• 研究如何利用解的概率先验知识来加速绝热量子搜索。
• 分析通过哈密顿量缩放是否可对绝热量子搜索的运行时间进行任意控制。
• 比较在有无解的概率先验信息下，绝热搜索的性能表现。
• 证明绝热演化可实现标准量子门模型算法（如Grover算法）无法实现的运行时间控制。

提出的方法

• 该算法采用时间依赖的哈密顿量 H(t) = (1-s)H₀ + sHₘ 进行绝热演化，其中 s(t) 从 0 增加到 1。
• 初始哈密顿量 H₀ = I - |ψ₀⟩⟨ψ₀| 用于制备均匀叠加态，而 Hₘ = I - |m⟩⟨m| 用于标记解态。
• 运行时间 T 通过涉及最小能隙 g_min 和最大变化率 D_max 的绝热条件进行估计。
• 理论分析表明，当初始态中解态的振幅为 aₘ 时，T ≈ (1/aₘ) × (π/(2ε))，证明仅解态振幅影响运行时间。
• 对于包含标记项的子集 A_M 中的先验概率 p_M，运行时间为 T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε))，其中 n_M 为子集大小。
• 通过将 H₀ 和 Hₘ 按因子 c > 0 缩放，运行时间按相同因子缩放，即 T₂ = T₁ / c，当 c = √N 时可实现常数时间搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用解的概率先验知识来减少绝热量子搜索的运行时间？
• RQ2 初始叠加态中解态的振幅是否唯一决定绝热演化时间？
• RQ3 通过缩放哈密顿量能否任意减少绝热量子搜索的运行时间？
• RQ4 绝热算法的运行时间缩放特性是否在标准门模型量子算法（如Grover算法）中不存在？

主要发现

• 当已知先验概率时，绝热搜索的运行时间变为 T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε))，当 p_M 较大时，其速度优于标准 O(√N) 的运行时间。
• 所有可能解位置的平均运行时间受 T_mean ≤ (π/(2ε)) × √N 限制，且仅当所有子集具有成比例的先验概率时等号成立。
• 通过因子 c 缩放初始和最终哈密顿量，可使运行时间按相同因子 c 缩小，即 T₂ = T₁ / c。
• 通过令哈密顿量按 √N 缩放，运行时间可被减少至常数 T ≈ π/(2ε)，与数据库大小 N 无关。
• 绝热算法通过哈密顿量缩放调节运行时间的能力，是标准Grover算法所不具备的特性。
• 分析表明，绝热演化可高效处理具有先验概率的复杂初始态，而Grover算法中此类分析则较为困难。