[论文解读] Quantum Search in an Ordered List via Adaptive Learning

Michael Ben-Or, Avinatan Hassidim|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2007

Machine Learning and Algorithms参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文提出一种基于贝叶斯学习的最优噪声二分查找算法，实现接近最优的查询复杂度 $\Theta(\log n / I(p))$，附加开销为 $O(\log \log n)$。该方法可扩展至并行查询模型，并利用噪声搜索作为子程序，实现期望复杂度低于 $(\log_2 n)/3$ 的量子搜索算法，优于以往的量子界。

ABSTRACT

We use a Bayesian approach to optimally solve problems in noisy binary search. We deal with two variants: 1. Each comparison can be erroneous with some probability $1 - p$. 2. At each stage $k$ comparisons can be performed in parallel and a noisy answer is returned We present a (classic) algorithm which optimally solves both variants together, up to an additive term of O(\log \log(n)), and prove matching information theoretic lower bounds. We use the algorithm to improve the results of Farhi et al \cite{FGGS99} presenting a quantum (error free) search algorithm in an ordered list of expected complexity less than (\log_2n) / 3.

研究动机与目标

• 开发一种最优的古典算法，用于在每次比较以概率 $p$ 返回正确结果的噪声二分查找中。
• 将该算法扩展至处理批量查询，即每轮并行执行 $k$ 次比较并返回噪声响应。
• 将最优噪声搜索框架应用于改进有序列表上的量子搜索算法。
• 为经典与量子噪声搜索建立紧致的信息论下界。

提出的方法

• 使用贝叶斯学习器维护目标元素位置的后验概率，并在每次噪声比较后进行更新。
• 在每一步中，将搜索空间划分为两部分，使两部分包含目标元素的后验概率相等，并查询中位数元素以最大化信息增益。
• 使用互信息 $I(p)$ 进行信息论分析，以界定期望查询复杂度。
• 通过允许每轮进行 $k$ 次并行查询，并且每次查询返回噪声结果，将贝叶斯方法推广至批量模型。
• 将最优古典噪声搜索作为子程序应用于量子算法中，以降低查询复杂度。
• 利用噪声预言机模型推导量子下界，并借鉴 [HNS02] 的技术以考虑噪声引起的态退化。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝叶斯方法能否在独立噪声比较下实现噪声二分查找的最优查询复杂度？
• RQ2 当允许多个查询并行执行时，噪声二分查找的性能如何扩展？
• RQ3 能否利用最优噪声搜索构建更高效的有序列表量子搜索算法？
• RQ4 量子噪声搜索所需查询数的最紧致下界是什么？
• RQ5 在经典与量子设置中，每轮查询的信息增益如何与噪声参数 $p$ 相关？

主要发现

• 所提出的贝叶斯算法实现期望查询复杂度为 $\frac{\log n}{I(p)} + O\left(\frac{\log \log n}{I(p)}\right)$，在 $O(\log \log n)$ 项内达到信息论下界。
• 该算法在独立噪声比较和并行批量查询下均最优，具有相同的渐近复杂度。
• 该方法使量子搜索算法的期望查询复杂度低于 $\frac{\log_2 n}{3}$，优于以往结果。
• 建立了新的量子下界 $\Omega(\log n / I(p))$，即使在高误差概率 $\delta \leq (k-1)/k$ 下也成立，而以往下界仅适用于 $\delta < 1/2$。
• 在量子算法中，每轮查询的信息增益被限制在 $\pi / \ln 2$ 比特以内，从而导出更紧致的下界 $t \geq \frac{\ln 2}{\pi}((1-\delta)\log k) - O(\delta)$，对应成功概率 $1-\delta$。