[论文解读] Quantum Simulation of Lindbladian Dynamics via Repeated Interactions

Matthew Pocrnic, Dvira Segal+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于重复相互作用（RIs）的量子模拟框架，用于林德布拉德动力学，建立了林德布拉德主方程与幺正RI演化之间严格的误差界。通过迭代量子化和Trotter-Suzuki方法，推导出模拟复杂度的最优标度，表明相互作用次数的标度为 $ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $，实现了开放量子系统高效且可证明准确的模拟。

ABSTRACT

The Lindblad equation generalizes the Schrödinger equation to quantum systems that undergo dissipative dynamics. The quantum simulation of Lindbladian dynamics is therefore non-unitary, preventing a naive application of state-of-the-art quantum algorithms. Here, we make use of an approximate correspondence between Lindbladian dynamics and evolution based on Repeated Interaction (RI) CPTP maps to write down a Hamiltonian formulation of the Lindblad dynamics and derive a rigorous error bound on the master equation. Specifically, we show that the number of interactions needed to simulate the Liouvillian $e^{t\mathcal{L}}$ within error $ε$ scales in a weak coupling limit as $ν\in O(t^2\|\mathcal{L}\|_{1 ightarrow 1}^2/ε)$. This is significant because the error in the Lindbladian approximation to the dynamics is not explicitly bounded in existing quantum algorithms for open system simulations. We then provide quantum algorithms to simulate RI maps using an iterative Qubitization approach and Trotter-Suzuki formulas and specifically show that for iterative Qubitization the number of operations needed to simulate the dynamics (for a fixed value of $ν$) scales in a weak coupling limit as $O(α_0 t + ν\log(1/ε)/\log\log(1/ε))$ where $α_0$ is the coefficient $1$-norm for the system and bath Hamiltonians. This scaling would appear to be optimal if the complexity of $ν$ is not considered, which underscores the importance of considering the error in the Liouvillian that we reveal in this work.

研究动机与目标

• 为解决在量子计算机上模拟非幺正、耗散性林德布拉德动力学的挑战，这类动力学无法直接适用于标准幺正量子算法。
• 在精确林德布拉德演化与近似重复相互作用（RI）CPTP映射之间建立严格的误差界，实现可控的近似。
• 开发基于迭代量子化与Trotter-Suzuki分解的量子算法，用于模拟RI映射，实现渐近最优的门复杂度。
• 阐明林德布拉德-RI对应关系中的近似误差与模拟误差之间的权衡，指出更高阶的RI映射未必能降低总误差。
• 提供一种框架，实现开放量子系统高效、幺正的模拟，并具备可证明的误差保证，推动耗散过程的实际量子模拟发展。

提出的方法

• 利用林德布拉德动力学与重复相互作用（RI）CPTP映射之间的近似对应关系，其中系统依次与独立的环境子系统发生相互作用。
• 通过在辅助量子比特上嵌入RI过程，将林德布拉德动力学形式化为哈密顿量，实现更大的幺正演化，从而可应用标准量子模拟技术。
• 在真实Liouvillian演化 $ e^{t\mathcal{L}} $ 与RI生成的演化之间建立严格的误差界，表明误差随 $ O(\nu^{-1}) $ 缩放，其中 $ \nu $ 为相互作用次数。
• 应用迭代量子化与Trotter-Suzuki分解来模拟RI映射，其复杂度标度为 $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $。
• 利用对易子结构与分区策略以期提升模拟效率，尽管有利分区的存在仍为开放问题。
• 将迹操作推迟至模拟末尾，以在整个模拟过程中保持幺正性，从而最小化辅助量子比特开销，并实现高效实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用幺正演化技术在量子计算机上高效模拟非幺正的林德布拉德动力学？
• RQ2 精确林德布拉德演化与重复相互作用（RI）近似之间的定量误差是多少？如何对其进行界定？
• RQ3 迭代量子化与Trotter-Suzuki方法能否用于模拟RI映射，并实现最优或近似最优的门复杂度？
• RQ4 提高RI映射阶数是否总能降低总模拟误差？还是存在近似误差与模拟误差之间的权衡？
• RQ5 林德布拉德-RI对应关系中的误差与量子算法实现中的误差如何相互作用？这对算法设计有何影响？

主要发现

• 为在误差 $ \epsilon $ 内模拟Liouvillian $ e^{t\mathcal{L}} $，所需的重复相互作用次数 $ \nu $ 标度为 $ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $，为近似误差提供了严格界定。
• 对于迭代量子化，总操作次数的标度为 $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $，当 $ \nu $ 视为常数时，该标度为渐近最优。
• RI近似中的误差对相互作用时间呈二阶依赖，意味着更高阶积分器未必能将物理精度提升至二阶以上。
• 该框架通过延迟迹操作的幺正演化方式，实现了开放量子系统的高效模拟，显著减少了辅助量子比特需求。
• 本工作揭示了当前开放系统模拟中的一个关键问题：林德布拉德主方程本身即为一种近似，其误差必须与算法误差一并界定，才能对不同模拟方案进行公平比较。
• 结果表明，仅模拟RI映射的前两阶可能比高阶实现更高效，因为误差减少的收益递减。