[论文解读] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation

Shi Jin, Nana Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2022

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 15

一句话总结

本文提出了一种名为Schrödingerisation的新方法，通过使用扭曲相位变换将任意线性偏微分方程（PDE）转化为实时间演化的一组Schrödinger方程，从而实现量子模拟。该方法可高效模拟经典与量子动力学，包括基态、Gibbs态以及随机介质中的系统，具有可证明的资源边界，且无需使用虚时或复杂的块编码。

ABSTRACT

We present a simple new way - called Schrodingerisation - to simulate general linear partial differential equations via quantum simulation. Using a simple new transform, referred to as the warped phase transformation, any linear partial differential equation can be recast into a system of Schrodinger's equations - in real time - in a straightforward way. This can be seen directly on the level of the dynamical equations without more sophisticated methods. This approach is not only applicable to PDEs for classical problems but also those for quantum problems - like the preparation of quantum ground states, Gibbs states and the simulation of quantum states in random media in the semiclassical limit.

研究动机与目标

• 解决使用量子设备模拟经典线性PDE（如热方程和辐射传输方程）的挑战，因为量子设备天然适用于酉Schrödinger动力学。
• 克服现有方法（如虚时演化和qubitisation）的局限性，这些方法需要非平凡的态制备、层析重建或复杂的多项式近似。
• 开发一种通用、概念简单且资源高效的框架，将任意线性PDE映射为实时间下的酉Schrödinger动力学。
• 实现对量子问题（如基态和Gibbs态制备）以及随机介质中半经典动力学的量子模拟。
• 提供一种统一的方法，避免时间离散化，通过酉演化保持解演化的连续性。

提出的方法

• 提出扭曲相位变换作为关键技术，将任意线性PDE重铸为具有实时间演化的Schrödinger方程组。
• 将该变换应用于热方程，表明在辅助变量上的傅里叶变换后，其转化为一组解耦的Schrödinger方程。
• 通过将微分算子分解为厄米部分与反厄米部分，将该方法推广至任意线性PDE，使动力学可表示为扩展希尔伯特空间中的酉演化。
• 在辅助变量 $p$ 上使用傅里叶变换，将变换后的PDE转化为以频率 $η$ 参数化的Schrödinger方程组，其哈密顿量为 $\eta\mathbf{H} + \mathbf{\bar{H}}$。
• 对频率变量 $\eta$ 进行离散化，构建有限维哈密顿量 $\mathbf{H}_{\text{total}} = \mathbf{H} \otimes \mathbf{D} + \mathbf{\bar{H}} \otimes \mathbf{1}$，从而可通过标准酉演化实现量子模拟。
• 通过假设厄米部分 $\mathbf{H}$ 为半正定，并利用对哈密顿量和初始态的稀疏访问，确保稳定性和高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将经典线性PDE映射为实时间下的酉Schrödinger动力学，而无需依赖虚时或离散化？
• RQ2 将任意线性PDE嵌入量子模拟框架中，保持时间演化连续性的最小变换是什么？
• RQ3 Schrödingerisation方法能否推广至经典与量子PDE，包括描述基态、Gibbs态以及随机介质中输运的方程？
• RQ4 在Schrödingerisation框架中，量子资源成本（如查询复杂度和门数）如何随问题规模和时间演化而变化？
• RQ5 与qubitisation或虚时演化等现有方法相比，该方法在简洁性、资源效率和态制备方面有何优势？

主要发现

• 扭曲相位变换实现了任意线性PDE向Schrödinger方程组的直接、实时间映射，无需非酉动力学或复杂多项式近似。
• 对于热方程，该方法通过傅里叶变换将其转化为解耦的Schrödinger方程，为虚时演化提供了一种概念性替代方案。
• 通过将微分算子分解为厄米与反厄米部分，该方法可推广至任意线性PDE，确保结果动力学为酉演化，可在量子计算机上模拟。
• 对变换后系统的量子模拟实现了查询复杂度 $\tilde{\mathcal{O}}\left(\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\|\right) s t \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$，其中 $s$ 为哈密顿量分量的稀疏度。
• 额外的两比特门数量复杂度为 $\tilde{\mathcal{O}}\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\| d t s \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$，表明对稀疏系统具有高效的资源缩放性能。
• 该方法可直接模拟基态和Gibbs态等量子态，并可通过态膨胀扩展至非齐次PDE和边值问题。