[论文解读] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation: technical details

Shi Jin, Nana Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 11

一句话总结

本文提出了一种名为Schrödingerisation的新方法——一种新颖的量子模拟框架，通过扭曲相位变换将一般线性偏微分方程（PDEs）转化为哈密顿系统。通过将PDE嵌入由厄米哈密顿量控制的幺正演化中，该方法可利用标准量子算法实现高效量子模拟，适用于热传导方程、对流方程、Fokker-Planck方程、玻尔兹曼方程、Black-Scholes方程以及Vlasov-Fokker-Planck方程。

ABSTRACT

We study a new method - called Schrodingerisation introduced in [Jin, Liu, Yu, arXiv: 2212.13969] - for solving general linear partial differential equations with quantum simulation. This method converts linear partial differential equations into a `Schrodingerised' or Hamiltonian system, using a new and simple transformation called the warped phase transformation. Here we provide more in-depth technical discussions and expand on this approach in a more detailed and pedagogical way. We apply this to more examples of partial differential equations, including heat, convection, Fokker-Planck, linear Boltzmann and Black-Scholes equations. This approach can also be extended to Schrodingerise general linear partial differential equations, including the Vlasov-Fokker-Planck equation and the Liouville representation equation for nonlinear ordinary differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子模拟方法，用于使用量子算法求解线性偏微分方程（PDEs）。
• 解决线性PDEs空间离散化通常无法产生哈密顿系统的问题，原因在于非虚系数和非对称矩阵。
• 将量子模拟扩展至具有变系数、源项和边界条件的PDEs，包括非齐次Dirichlet边界条件。
• 为Schrödingerisation提供一个系统化、教学友好的技术框架，适用于广泛类别的PDEs和ODEs。
• 通过将非幺正或非厄米的ODE系统转化为幺正演化框架，实现时间推进的哈密顿模拟。

提出的方法

• 引入扭曲相位变换——一种简单的一维辅助变量变换，可将线性PDEs转化为具有哈密顿结构的Schrödingerised形式。
• 将该变换应用于重述热传导方程、对流方程、Fokker-Planck方程和线性玻尔兹曼方程等PDEs，将其转化为等价的Schrödinger型系统。
• 使用傅里叶谱离散化将PDEs转换为半离散ODE系统，随后应用扭曲相位变换使系统具有幺正性，并通过量子哈密顿模拟进行仿真。
• 对于离散化产生的非对称系数矩阵，将生成元分解为 $-iA = H_1 + iH_2$，其中 $H_1, H_2$ 为厄米矩阵，并构建更大的厄米哈密顿量以恢复幺正演化。
• 应用块编码和符号扩展幺正化技术，处理由PDE空间离散化导出的一般线性ODE系统。
• 提出一种增强技术，用于处理ODE系统中的非齐次源项和边界条件，同时保持哈密顿结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将一般线性PDE转化为适合量子模拟的哈密顿系统？
• RQ2 扭曲相位变换如何应用于具有变系数的PDEs，如Vlasov-Fokker-Planck方程？
• RQ3 Schrödingerisation方法能否扩展至具有源项和非齐次边界条件的PDEs？
• RQ4 使用该方法模拟Black-Scholes方程和线性玻尔兹曼方程的计算成本和可行性如何？
• RQ5 与现有量子ODE求解器和量子差分方法相比，该方法在时间复杂度和幺正结构方面表现如何？

主要发现

• Schrödingerisation方法通过扭曲相位变换成功地将热传导方程、对流方程、Fokker-Planck方程、线性玻尔兹曼方程和Black-Scholes方程转化为幺正哈密顿系统。
• 对于非线性ODE的Liouville表示，该方法通过将相空间动力学重述为线性PDE，实现了量子模拟。
• 通过广义框架，Vlasov-Fokker-Planck方程可被Schrödingerised，但仅直接应用扭曲相位变换可能不足以处理变系数情形。
• 该方法通过一种简单的增强技术支持具有非齐源项和边界条件的PDEs的量子模拟，同时保持幺正性。
• 由此产生的哈密顿系统允许使用标准量子算法进行时间推进模拟，避免了导致成本指数增长的非幺正过程。
• 该方法通过利用量子线性代数原语实现了指数加速潜力，且由变换引入的一维辅助变量带来的额外开销极低。