[论文解读] Quantum Simulation of Phylogenetic Trees

Demosthenes Ellinas, Peter Jarvis|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Genomics and Phylogenetic Studies被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于量子行走和正迹保真映射的量子模拟框架，用于模拟系统发育树的进化过程与统计推断。该框架建立了系统发育树似然计算与似然算符可观测量的量子测量之间的对应关系，通过量子态-可观测量对偶性与退相干量子线路，实现量子增强的最大似然估计。

ABSTRACT

Quantum simulations constructing probability tensors of biological multi-taxa in phylogenetic trees are proposed, in terms of positive trace preserving maps, describing evolving systems of quantum walks with multiple walkers. Basic phylogenetic models applying on trees of various topologies are simulated following appropriate decoherent quantum circuits. Quantum simulations of statistical inference for aligned sequences of biological characters are provided in terms of a quantum pruning map operating on likelihood operator observables, utilizing state-observable duality and measurement theory.

研究动机与目标

• 开发一种用于模拟系统发育学中多分类群进化过程的量子信息理论框架。
• 利用酉操作与退相干，将经典系统发育模型（包括基于群的模型与Felsenstein型模型）映射到量子线路。
• 利用量子修剪映射与似然算符可观测量，模拟对齐生物序列的统计推断。
• 建立用于最大似然系统发育树估计中迭代修剪算法的量子力学类比。
• 通过量子态与可观测量之间的对偶性，利用迹的循环性质与酉扩张，实现树似然的量子计算。

提出的方法

• 使用局部酉操作 $U = \bigotimes_{i=1}^{s} U_i$ 作用于 $s$-分类群密度矩阵，随后通过退相干映射 ${\rm \bf E}_d^{\bigotimes s}$ 投影至对角密度矩阵。
• 通过在张量积结构中应用受控非门 $U_{cn}$ 构建树拓扑，利用伴随作用 $\Delta\rho = U_{cn}(\rho \otimes \widehat{P}_0)U_{cn}^\dagger$ 实现分裂（分支化）。
• 将位点特异性似然表示为量子算符 $\widehat{L}_{tr}^{(l)}$，通过递归应用量子修剪映射 $\mu$ 于末端樱桃的似然算符获得。
• 采用对偶映射形式：$L^{(l)} = \nu_f^{-1} \operatorname{Tr}(\widehat{L}^{C_f} {\mathcal{E}}_{B_f}^*(\rho^\pi))$，其中 $\mathcal{E}^*$ 是作用于平稳态 $\rho^\pi$ 的随机映射的对偶。
• 通过张量积 $\otimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)}$ 和集体映射 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ 将似然计算扩展至完整比对，可通过酉扩张实现。
• 利用量子态与可观测量之间的对偶性及迹的循环性质，将可观测量的海森堡型演化转换为态的薛定谔型演化，实现计算等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子行走与酉演化能否模拟经典系统发育模型背后的随机过程？
• RQ2 在最大似然系统发育推断中使用的迭代修剪过程，如何映射到量子测量操作？
• RQ3 系统发育树中似然算符的量子力学类比是什么？它如何被测量？
• RQ4 能否利用量子态与可观测量之间的对偶性，通过量子线路计算比对似然？
• RQ5 退相干与迹保真映射如何用于建模基于群与Felsenstein型系统发育模型中的转移概率？

主要发现

• 基于群的系统发育模型通过酉演化与退相干映射为量子行走，马尔可夫矩阵由酉矩阵的哈达玛积导出。
• Felsenstein模型被实现为后测量态映射，其中修剪映射 $\mu$ 表示为作用于似然算符的随机映射 $\mathcal{E}_B$。
• 单一位点的似然计算为 $L^{(l)} = \left\langle \widehat{L}_{tr}^{(l)}, \rho^\pi \right\rangle = \operatorname{Tr}(\widehat{L}_{tr}^{(l)} \rho^\pi)$，其中 $\rho^\pi$ 为平稳态。
• 对于完整比对，总对数似然表示为 $\log \operatorname{Tr}\left( \bigotimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)} \right) \rho_\Lambda$，其中 $\rho_\Lambda = (\rho^\pi)^{\otimes \Lambda}$。
• 最终的似然计算等价于通过对偶映射 $\mathcal{E}_{B_f}^*$ 实现的薛定谔型演化，该映射作用于平稳密度矩阵 $\rho^\pi$。
• 集体映射 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ 可通过酉扩张实现，表明似然计算可基于哈密顿量实现量子线路。