[论文解读] Quantum simulations of one dimensional quantum systems

Rolando D. Somma|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 29被引用 26

一句话总结

本文提出了一类用于模拟一维量子系统的量子算法，特别是量子谐振子（QHO），采用优化的高阶 Trotter-Suzuki 近似方法，充分利用李代数结构。该方法实现了 $ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $ 的次指数复杂度，相较于经典方法实现了超多项式量子加速，并为制备具有高斯型振幅的 QHO 本征态提供了多项式时间算法。

ABSTRACT

We present quantum algorithms for the simulation of quantum systems in one spatial dimension, which result in quantum speedups that range from superpolynomial to polynomial. We first describe a method to simulate the evolution of the quantum harmonic oscillator (QHO) based on a refined analysis of the Trotter-Suzuki formula that exploits the Lie algebra structure. For total evolution time $t$ and precision $ε>0$, the complexity of our method is $ O(\exp(γ\sqrt{\log(N/ε)}))$, where $γ>0$ is a constant and $N$ is the quantum number associated with an "energy cutoff" of the initial state. Remarkably, this complexity is subpolynomial in $N/ε$. We also provide a method to prepare discrete versions of the eigenstates of the QHO of complexity polynomial in $\log(N)/ε$, where $N$ is the dimension or number of points in the discretization. This method may be of independent interest as it provides a way to prepare, e.g., quantum states with Gaussian-like amplitudes. Next, we consider a system with a quartic potential. Our numerical simulations suggest a method for simulating the evolution of sublinear complexity $ ilde O(N^{1/3+o(1)})$, for constant $t$ and $ε$. We also analyze complex one-dimensional systems and prove a complexity bound $ ilde O(N)$, under fairly general assumptions. Our quantum algorithms may find applications in other problems. As an example, we discuss the fractional Fourier transform, a generalization of the Fourier transform that is useful for signal analysis and can be formulated in terms of the evolution of the QHO.

研究动机与目标

• 开发高效量子算法以模拟连续变量量子系统，特别是具有无界哈密顿量的一维量子系统。
• 克服现有量子模拟方法在能量或系统规模上呈多项式增长的局限性。
• 实现对量子谐振子（QHO）模拟时间与精度的次指数复杂度，突破无快速前向定理的限制。
• 将这些技术推广至更复杂的势能，如四次方势和一般一维系统，在广泛假设下实现。
• 建立一个基于量子模拟 Jaynes-Cummings 模型的框架，用于高效制备具有高斯型振幅的 QHO 本征态。

提出的方法

• 本文采用针对量子谐振子特有的 $ \mathfrak{sp}(2) $ 李代数结构优化的高阶 Trotter-Suzuki 近似方法，进行精细化分析。
• 利用对易子性质来界定 Trotter-Suzuki 分解中的误差，实现显著低于最坏情况估计的误差。
• 模拟在维度为 $ N $ 的离散希尔伯特空间中进行，其中 $ N $ 对应该系统的能量截断。
• 对于本征态制备，该方法通过高阶 Trotter-Suzuki 分解模拟离散化 Jaynes-Cummings 哈密顿量的时间演化。
• 对于四次方势等更复杂系统，数值证据表明复杂度为 $ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $，假设演化时间与精度恒定。
• 对于一般一维系统，该方法应用近期基于泰勒级数的模拟技术，在一般假设下实现 $ \tilde{O}(N) $ 复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子模拟能否在能量尺度 $ N $ 上实现对 QHO 的次指数复杂度，尽管存在无快速前向定理？
• RQ2 能否利用 QHO 的李代数结构，将 Trotter-Suzuki 近似误差降低至低于最坏情况边界？
• RQ3 该方法是否对具有四次方势的系统（如 $ \phi^4 $ 型哈密顿量）实现多项式量子加速？
• RQ4 能否基于模拟方法在量子计算机上高效制备具有高斯型振幅的 QHO 本征态？
• RQ5 该框架能否在一般条件下推广至其他连续变量量子系统，并实现 $ \tilde{O}(N) $ 复杂度？

主要发现

• 用于模拟 QHO 时间演化的量子算法，其复杂度为 $ O(\exp(\gamma\sqrt{\log(N/\epsilon)})) $，该复杂度在 $ \log(N) $ 上为次指数，相较于经典方法实现了超多项式加速。
• 该复杂度在 $ N/\epsilon $ 上为次多项式，且通过利用底层的 $ \mathfrak{sp}(2) $ 李代数结构，绕过了无快速前向定理的限制。
• 本征态制备算法的复杂度在 $ \log(N)/\epsilon $ 上为多项式，所生成的态呈现出高斯型振幅分布。
• 数值模拟表明，四次方势的模拟复杂度为 $ \tilde{O}(N^{1/3+o(1)}) $，表明相较于经典方法实现了多项式量子加速。
• 对于一般一维系统，该方法在较一般假设下实现 $ \tilde{O}(N) $ 复杂度，采用基于泰勒级数的模拟技术。
• 结果表明，对于其他具有丰富代数结构的连续变量量子系统，可能也存在类似的次指数算法。