[论文解读] Quantum speedup for combinatorial optimization with flat energy landscapes

Madelyn Cain, Sambuddha Chattopadhyay+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出一个框架，将优化的量子阿迪亚算法与经典马尔科夫链蒙特卡洛方法在具有平坦能量景观的困难实例上进行比较，给出二次加速的条件，并引入一个局部哈密顿量修改，扩展加速到模拟退火及相关算法。

ABSTRACT

Designing quantum algorithms with a speedup over their classical analogs is a central challenge in quantum information science. Motivated by recent experimental observations of a superlinear quantum speedup in solving the Maximum Independent Set problem on certain unit-disk graph instances [Ebadi et al., Science 376, 6598 (2022)], we develop a theoretical framework to analyze the relative performance of the optimized quantum adiabatic algorithm and a broad class of classical Markov chain Monte Carlo algorithms. We outline conditions for the quantum adiabatic algorithm to achieve a quadratic speedup on hard problem instances featuring flat low-energy landscapes and provide example instances with either a quantum speedup or slowdown. We then introduce an additional local Hamiltonian with no sign problem to the optimized adiabatic algorithm to achieve a quadratic speedup over a wide class of classical simulated annealing, parallel tempering, and quantum Monte Carlo algorithms in solving these hard problem instances. Finally, we use this framework to analyze the experimental observations.

研究动机与目标

• 激励并分析何时量子算法能够在 NP-hard 组合优化问题上超越经典求解器。
• 表征低能本征态的局部化如何控制在平坦景观上的量子与经典性能。
• Develop criteria to predict QAA speedups or slowdowns relative to simulated annealing and parallel tempering.
• 提出一种带有局部符号问题自由哈密顿量的改进QAA，使在退相干区域内实现去局部化并对经典求解器产生二次加速。

提出的方法

• 用以单位圆盘图的最大独立集问题建立一个受里德伯–原子启发的哈密顿量来编码成本。
• 通过切赫不等式和谱隙界来分析SA与QMC运行时，将景观结构与运行时联系起来。
• 使用二阶微扰理论确定在避免跨越处决定 Delta_QAA 的基态与一阶激发态（|G> 与 |E>）。
• 引入带有拉普拉斯算子样项 H_ell 的改进QAA，强制在简并流形内实现去局部化的基态。
• 推导在何种条件下改进QAA可获得二次加速，并将 lambda/omega 的缩放与能隙相关联。
• 给出示例图族（星形图）来说明去局部化-局部化的转变及其对运行时的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平坦能量景观的困难单位圆盘图实例上，优化后的QAA在何种条件下优于SA和QMC？
• RQ2 低能本征态的(去)局部化如何影响最小能隙及相应的QAA运行时？
• RQ3 添加局部、符号问题自由的哈密顿量是否能在广义实例中实现去局部化并对经典求解器提供二次加速？
• RQ4 SA与QMC的运行时如何随实例结构（如 D_b 比例）和问题规模变化，与在不同局部化情形下的QAA进行比较？
• RQ5 在单位圆盘图的实例中，实验观测到的加速是否能在该框架内得到解释？

主要发现

• 在测试的单位圆盘图中，困难平坦景观下的SA运行时至少与 exp(constant * sqrt(n)) 同速相关，且与 D_{b-1}/D_b 比相关。
• QAA 的运行时由避免跨越的能隙 Delta_QAA 控制，其由 |G> 与 |E> 的局部化性质决定；实现去局部化时可实现二次加速。
• 去局部化的 |G> 与 |E>（如在近最优配置中均匀分布）可使 Delta_QAA^{-1} 相对于 SA 上界变为二次量级更小。
• 引入局部拉普拉斯项 H_ell 且 λ 很大时强制去局部化并使 QAA 能隙缩小至有利尺度，在星形图实例和大量单位圆盘图中达到对 SA 的二次加速。
• 对于具有实际 λ/ω 比例的单位圆盘图，改进的QAA 在分析的区间内对SA显示出二次加速，并相对于路径积分QMC保持优势。