[论文解读] Quantum Speedup for the Maximum Cut Problem

Weng-Long Chang, Renata Wong+4 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的量子算法来解决最大割问题，通过将Grover搜索与自定义量子电路结合，以计数割中的边数，从而在时间上实现相对于经典精确算法的二次加速。该算法的时间复杂度为 $ O(\tilde{2}^{n/2}/r) $，空间复杂度为 $ O(m^2) $，并在IBM的量子模拟器上进行了实验验证，成功在3个顶点的图中以超过1/2的概率正确识别出最大割。

ABSTRACT

Given an undirected, unweighted graph with $n$ vertices and $m$ edges, the maximum cut problem is to find a partition of the $n$ vertices into disjoint subsets $V_1$ and $V_2$ such that the number of edges between them is as large as possible. Classically, it is an NP-complete problem, which has potential applications ranging from circuit layout design, statistical physics, computer vision, machine learning and network science to clustering. In this paper, we propose a quantum algorithm to solve the maximum cut problem for any graph $G$ with a quadratic speedup over its classical counterparts, where the temporal and spatial complexities are reduced to, respectively, $O(\sqrt{2^n/r})$ and $O(m^2)$. With respect to oracle-related quantum algorithms for NP-complete problems, we identify our algorithm as optimal. Furthermore, to justify the feasibility of the proposed algorithm, we successfully solve a typical maximum cut problem for a graph with three vertices and two edges by carrying out experiments on IBM's quantum computer.

研究动机与目标

• 开发一种能够为NP完全的最大割问题提供可证明加速的量子算法。
• 设计一种量子电路，通过辅助量子比特和受控操作高效计算割中边的数量。
• 将割评估电路集成到Grover搜索框架中，以实现解的振幅放大。
• 利用IBM的量子模拟器在真实量子平台上验证该算法的可行性。
• 证明该算法在基于预言机的量子方法中对NP完全问题是最优的。

提出的方法

• 该算法使用量子电路（CFE和CSE）通过在量子比特对上应用受控逻辑操作，评估每条边对割的贡献，从而计算跨越割的边数。
• 辅助量子比特 $ z_{i,j} $ 在处理每条边后存储割中边的累计计数，从而实现可扩展的计数。
• 将这些电路集成到Grover的振幅放大过程中，以增强测量最大割态的概率。
• 初始态通过在 $ x_d $、$ z_{i,j} $ 和辅助量子比特的量子寄存器上施加Hadamard门制备，随后执行迭代的Grover步骤。
• 一个受目标割大小 $ z_{m,t} $ 条件控制的CNOT门将辅助量子比特翻转以标记解，随后通过扩散操作实现放大。
• 该算法使用量子计数来估计最大割解的数量 $ R $，该值决定Grover迭代的次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否为最大割问题的精确解实现二次加速？
• RQ2 如何利用受控操作的量子电路高效计算割中边的数量？
• RQ3 所提出的量子算法是否在基于预言机的NP完全问题方法中达到最优？
• RQ4 该算法能否在真实量子计算平台上实现并得到验证？
• RQ5 收敛所需的Grover迭代次数是多少？其随顶点数的增加如何变化？

主要发现

• 所提出的量子算法实现了二次加速，将时间复杂度从经典情况的 $ O(2^n) $ 降低到 $ O(\sqrt{2^n / r}) $，其中 $ r $ 为最大割解的数量。
• 该算法的空间复杂度为 $ O(m^2) $，对稀疏图而言在量子比特使用上非常高效。
• 该算法在基于预言机的量子算法中为NP完全问题达到最优，因其与Grover搜索的理论下限一致。
• 该算法已成功在IBM的量子模拟器上使用Qiskit实现并测试，对于3个顶点的图，以超过1/2的概率正确识别出最大割。
• 实验结果证实，两个比特串010和101（代表等价的最大割）均以高概率被测量到，表明解被正确识别。
• 完整电路（包括态制备、预言机标记、逆计算和扩散）在单次运行中完成，迭代次数为 $ \frac{\pi}{4} \sqrt{2^n / R} $，其中对于示例图 $ R = 2 $。