[论文解读] Quantum spin dynamics

Robert Wieser|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用 25

一句话总结

本文通过引入与能量算符成比例的阻尼项的非厄米哈密顿量，从量子力学推导出经典的朗道-李夫希茨-吉尔伯特（LLG）自旋动力学方程。结果表明，由此导出的含时薛定谔方程、冯·诺依曼（Liouville）方程和海森堡方程均能重现LLG动力学。本文提出了两种包含温度效应的方法——随机噪声和统计算符形式化，通过解析和数值结果验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

The classical Landau-Lifshitz equation has been derived from quantum mechanics. Starting point is the assumption of a non-Hermitian Hamilton operator to take the energy dissipation into account. The corresponding quantum mechanical time dependent Schrödinger, Liouville and Heisenberg equation have been described and the similarities and differences between classical and quantum mechanical spin dynamics have been discussed. Furthermore, a time dependent Schrödinger equation corresponding to the classical Landau-Lifshitz-Gilbert equation and two ways to include temperature into the quantum mechanical spin dynamics have been proposed.

研究动机与目标

• 从量子力学直接推导自旋动力学的朗道-李夫希茨-吉尔伯特（LLG）方程，而非作为现象学附加项。
• 阐明在存在阻尼和量子涨落的情况下，经典与量子自旋动力学之间的差异。
• 为包含能量耗散的自旋动力学提供一个一致的量子力学框架，以实现对量子-经典过渡的研究。
• 提出两种在量子自旋动力学模拟中合理引入温度和热涨落的物理方法。
• 纠正文献中关于LLG方程量子推导的先前误解，并通过数值模拟验证该方法。

提出的方法

• 引入形式为 $\hat{\cal H} = \hat{H} - i\lambda(\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle)$ 的非厄米哈密顿量，以模拟能量耗散，其中 $\lambda$ 为阻尼常数。
• 从该哈密顿量推导出含时薛定谔方程 $i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = (\hat{H} - i\lambda[\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle])|\psi(t)\rangle$。
• 将薛定谔方程转化为李想曼（von Neumann）方程：$\frac{d\hat{\rho}}{dt} = i[\hat{\rho}, \hat{H}] - \lambda[\hat{\rho}, [\hat{\rho}, \hat{H}]]$，通过换算符对与向量积的映射，该方程与经典LLG形式一致。
• 推导自旋算符的海森堡运动方程，表明在 $S \to \infty$ 极限下，$\langle\hat{\mathbf{S}}\rangle$ 的量子动力学与经典LLG方程一致。
• 提出一种通过向动力学中添加噪声来引入温度和量子涨落的随机方法，以模拟非平衡热效应。
• 提出一种使用 $\hat{\rho}_{\text{Stat.}} = \frac{e^{-\beta\hat{H}}}{\text{Tr}(e^{-\beta\hat{H}})}$ 的统计算符方法，适用于处于热平衡的系统，具有自洽的时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 自旋动力学的朗道-李夫希茨-吉尔伯特（LLG）方程能否在不引入现象学阻尼的前提下，从量子力学中推导出来？
• RQ2 非厄米哈密顿量在量子自旋系统中产生能量耗散和阻尼的作用机制是什么？
• RQ3 诸如 $\hbar$-依赖项和纠缠等量子效应如何影响自旋动力学的经典极限？
• RQ4 在量子自旋动力学模拟中，有哪些物理解释一致的方法可以引入温度和热涨落？
• RQ5 所提出的两种温度引入方法——随机噪声与统计算符——在物理诠释和适用范围上存在哪些差异？

主要发现

• 非厄米哈密顿量 $\hat{\cal H} = \hat{H} - i\lambda(\hat{H} - \langle\hat{H}\rangle)$ 导致的量子力学时间演化，能使其自旋算符期望值重现经典LLG方程。
• 由此哈密顿量导出的李想曼方程 $\frac{d\hat{\rho}}{dt} = i[\hat{\rho}, \hat{H}] - \lambda[\hat{\rho}, [\hat{\rho}, \hat{H}]]$，在转换为向量动力学后，与经典LLG方程的结构一致。
• 对于具有塞曼哈密顿量的单个自旋，在 $S \to \infty$ 极限下，量子期望值 $\langle\hat{\mathbf{S}}\rangle$ 的轨迹与经典自旋完全相同。
• 在多自旋系统中，由于海森堡方程中出现的 $\hbar$-依赖项以及量子纠缠的出现，量子行为偏离经典行为，而这些效应仅在经典极限下消失。
• 随机噪声方法可模拟非平衡热效应，包括量子涨落，而统计算符方法仅适用于平衡系统。
• 数值模拟验证了分析预测，显示在适当条件下，量子期望值与经典LLG轨迹高度一致。