[论文解读] Quantum state preparation without coherent arithmetic

Sam McArdle, András Gilyén+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 18

一句话总结

该论文提出了一种利用量子本征值变换（QET）的量子态制备方法，通过已知函数定义振幅，避免了相干算术或振幅预言机的需要。通过对正弦函数进行块编码，并利用QET实现多项式或傅里叶逼近，该方法将辅助量子比特数量减少至仅4个（对于确定奇偶性的函数为3个），在保持与最先进方法相当的Toffoli门数量的同时，实现了数量级的量子比特节省。

ABSTRACT

We introduce a versatile method for preparing a quantum state whose amplitudes are given by some known function. Unlike existing approaches, our method does not require handcrafted reversible arithmetic circuits, or quantum table reads, to encode the function values. Instead, we use a template quantum eigenvalue transformation circuit to convert a low cost block encoding of the sine function into the desired function. Our method uses only 4 ancilla qubits (3 if the approximating polynomial has definite parity), providing order-of-magnitude qubit count reductions compared to state-of-the-art approaches, while using a similar number of gates if the function can be well represented by a polynomial or Fourier approximation. Like black-box methods, the complexity of our approach depends on the 'L2-norm filling-fraction' of the function. We demonstrate the algorithmic utility of our method, including preparing Gaussian and Kaiser window states.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展、低资源占用的量子态制备方法，用于制备由连续函数定义振幅的态。
• 消除在振幅预言机构建中对手动设计的相干算术电路或量子内存加载的依赖。
• 通过最小化辅助量子比特的使用，减少容错量子算法中的量子比特开销。
• 实现一种统一的电路模板，适用于高斯函数、凯泽窗函数和摆线等多种函数。
• 提供一种基于量子奇异值变换（QSVT）的多项式或傅里叶级数逼近的高效态制备框架。

提出的方法

• 该方法以正弦函数的低成本块编码 $ A = \sum_x \sin(x/N)\ket{x}\!\bra{x} $ 作为基础资源。
• 通过已知函数 $ f((b-a)\arcsin(y)+a) $ 的多项式或傅里叶逼近，应用量子本征值变换（QET）将 $ A $ 的本征值映射到目标函数值。
• 该变换通过使用 $ 4 $ 个辅助量子比特的QET电路模板实现（若逼近多项式具有确定奇偶性，则为3个）。
• 对于基于傅里叶的逼近，该方法使用 $ d $ 阶傅里叶级数，应用 $ d $ 次 $ U(A) $ 和 $ U(A)^\dagger $，并配合 $ 8d+4 $ 次单量子比特旋转。
• 通过振幅放大校正归一化，增加1个量子比特，并在填充分数 $ \mathcal{F}_{\tilde{f}}^{[\infty]} \lesssim 1 $ 时仅执行 $ R=1 $ 轮。
• 该方法避免了对函数值的离散化，实现了连续逼近而非定点算术。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不为每个函数构建定制相干算术电路的情况下实现量子态制备？
• RQ2 在保持门数量效率的前提下，辅助量子比特数量能在多大程度上减少？
• RQ3 是否可以复用同一电路模板处理如高斯函数、凯泽窗函数和摆线等多种函数？
• RQ4 该方法在非光滑或非周期函数（如 $ \sqrt{\bar{x}} $）上的表现如何？
• RQ5 使用此基于QET的框架制备多变量函数的资源成本是多少？

主要发现

• 该方法将辅助量子比特数量减少至4个（对于确定奇偶性的函数为3个），与最先进的基于振幅预言机的方法相比，实现了数量级的节省。
• 对于32量子比特的高斯态，该方法约需 $ 1.2 \times 10^5 $ 个Toffoli门和4个辅助量子比特，门数量与先前方法相当，但量子比特开销显著降低。
• 对于32量子比特的凯泽窗态，该方法使用 $ 1.5 \times 10^5 $ 个Toffoli门和4个辅助量子比特，同样实现了更低的量子比特成本。
• 对于 $ \bar{x} \in [0, 2\pi] $ 上的摆线函数，使用 $ d=120 $ 的傅里叶级数可实现 $ L_2 $ 误差 $ < 10^{-3} $，需约 $ \approx 7.35 \times 10^5 $ 个Toffoli门和2个辅助量子比特。
• 该方法可实现 $ \tanh $ 和 $ \mathrm{cycloid} $ 等函数的制备，这些函数难以通过黑箱或GR基振幅预言机实现，原因在于缺乏闭式积分。
• 由于在0处不可导及傅里叶级数中的吉布斯现象，该方法对 $ \sqrt{\bar{x}} $ 在 $ [0,1] $ 上效率不高，提示此类情形需采用其他方法。