[论文解读] Quantum State Tomography for Matrix Product Density Operators

Zhen Qin, Casey Jameson+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2023

Quantum Information and Cryptography被引用 4

一句话总结

该论文为一维量子态的高效量子态层析（QST）建立了理论保证，这些量子态通过常数纠缠维度的矩阵乘积算符（MPO）近似。通过利用压缩感知与经验过程理论，证明了即使在单次测量的统计噪声下，仅需多项式数量的态样本（线性于量子比特数）即可通过哈尓随机投影测量实现稳定的MPO重构。

ABSTRACT

The reconstruction of quantum states from experimental measurements, often achieved using quantum state tomography (QST), is crucial for the verification and benchmarking of quantum devices. However, performing QST for a generic unstructured quantum state requires an enormous number of state copies that grows \emph{exponentially} with the number of individual quanta in the system, even for the most optimal measurement settings. Fortunately, many physical quantum states, such as states generated by noisy, intermediate-scale quantum computers, are usually structured. In one dimension, such states are expected to be well approximated by matrix product operators (MPOs) with a finite matrix/bond dimension independent of the number of qubits, therefore enabling efficient state representation. Nevertheless, it is still unclear whether efficient QST can be performed for these states in general. In this paper, we attempt to bridge this gap and establish theoretical guarantees for the stable recovery of MPOs using tools from compressive sensing and the theory of empirical processes. We begin by studying two types of random measurement settings: Gaussian measurements and Haar random rank-one Positive Operator Valued Measures (POVMs). We show that the information contained in an MPO with a finite bond dimension can be preserved using a number of random measurements that depends only \emph{linearly} on the number of qubits, assuming no statistical error of the measurements. We then study MPO-based QST with physical quantum measurements through Haar random rank-one POVMs that can be implemented on quantum computers. We prove that only a \emph{polynomial} number of state copies in the number of qubits is required to guarantee bounded recovery error of an MPO state.

研究动机与目标

• 解决大规模量子系统标准量子态层析（QST）的指数资源消耗问题。
• 建立重构矩阵乘积算符（MPO）结构化量子态所需态样本数量的理论边界。
• 证明具有常数纠缠维度的MPO态可仅通过多项式数量的态样本实现稳定恢复。
• 表明哈尔随机投影测量可在单次测量下实现高效的QST，即使存在统计噪声。
• 将框架推广至适用于近期量子设备的实际测量设置，如t-设计。

提出的方法

• 利用压缩感知与经验过程理论工具，分析从随机测量中恢复MPO的稳定性。
• 分析两种测量模型：高斯测量与哈尔随机投影测量，表明信息保持与量子比特数呈线性关系。
• 应用伯恩斯坦型不等式与多项式分布集中不等式，控制经验测量中的统计误差。
• 在随机测量集合下，基于迹范数最小化框架，推导恢复误差的概率界。
• 证明仅使用每个随机基一次测量即可实现有界误差恢复，即使结果存在噪声。
• 将结果推广至局部随机或t-设计测量，这些测量在当前量子硬件上更具可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有常数纠缠维度的MPO近似态，能否实现高效的量子态层析？
• RQ2 使用随机测量稳定恢复MPO态所需的最少态样本数量是多少？
• RQ3 哈尔随机投影测量是否可在仅使用多项式数量态样本的情况下实现QST，即使存在统计噪声？
• RQ4 能否在每个基仅使用单次测量的情况下实现有界恢复误差？
• RQ5 该框架能否推广至适用于当前NISQ设备的更实际测量设置，如t-设计？

主要发现

• 为保持MPO信息而需的随机测量数量随量子比特数线性增长，而非指数增长。
• 在哈尔随机投影测量下，仅需与量子比特数呈多项式关系的态样本数量，即可保证MPO态的有界恢复误差。
• 即使每个测量基仅使用一次，仍可实现稳定恢复，原因在于经验估计的集中性。
• 通过多项式分布集中不等式与经验过程技术，推导出恢复误差的理论界。
• 该框架可推广至t-设计与局部随机测量，使其适用于近期量子设备。
• 结果首次为MPO态层析提供了严格的多项式样本复杂度界，填补了关键的理论空白。