[论文解读] Quantum state tomography with tensor train cross approximation

Alexander Lidiak, Casey Jameson+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种用于一维噪声量子系统的可扩展量子态层析方法，采用张量列车交叉近似，仅使用 O(N) 测量基即可重建具有有限键维数的矩阵乘积算符（MPO）表示的混合态。该方法在远少于标准方法所需态样本数的情况下实现高保真度重建，且通过监督机器学习可进一步提升保真度，而无需额外实验数据。

ABSTRACT

It has been recently shown that a state generated by a one-dimensional noisy quantum computer is well approximated by a matrix product operator with a finite bond dimension independent of the number of qubits. We show that full quantum state tomography can be performed for such a state with a minimal number of measurement settings using a method known as tensor train cross approximation. The method works for reconstructing full rank density matrices and only requires measuring local operators, which are routinely performed in state-of-art experimental quantum platforms. Our method requires exponentially fewer state copies than the best known tomography method for unstructured states and local measurements. The fidelity of our reconstructed state can be further improved via supervised machine learning, without demanding more experimental data. Scalable tomography is achieved if the full state can be reconstructed from local reductions.

研究动机与目标

• 解决在噪声量子装置生成的大规模量子多体态中高效表征的挑战。
• 克服在高维希尔伯特空间中通用混合态标准量子态层析的指数级资源增长问题。
• 为具有紧凑 MPO 表示的态开发一种可证明高效的层析协议，特别是针对具有有限错误率的一维量子计算机生成的态。
• 通过仅依赖当前量子平台中常规可实现的局域测量，确保实验可行性。
• 通过结合张量列车交叉近似与局域约化密度矩阵，实现可扩展的态重建，避免指数级测量开销。

提出的方法

• 将压缩感知与信号处理中的张量列车交叉近似方法应用于从最少测量基中重建 N 量子比特态的密度矩阵。
• 使用每个量子比特上的局域测量（单量子比特泡利算符 σˣ, σʸ, σᶻ），这些测量在当前量子硬件中可实验实现。
• 通过在 O(N) 个精心选择的测量基上采样测量结果，构建完整密度矩阵的 MPO 表示。
• 利用 MPO 的低秩结构，将所需态样本数从 O(d²) 降低为 N 的多项式量级。
• 整合监督机器学习以校正数值不稳定性（例如非半正定密度矩阵），并提升重建保真度。
• 采用最大体积原理自适应选择测量基，确保对张量列车结构的高效采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用张量列车交叉近似，仅用 O(N) 测量设置对 MPO 表示的混合态执行量子态层析？
• RQ2 该方法是否在未结构化态上实现高保真度重建，且所需态样本数相比标准层析呈指数级减少？
• RQ3 监督机器学习是否可在不增加额外实验数据的前提下提升重建密度矩阵的保真度？
• RQ4 该方法是否对具有有限错误率的一维噪声量子计算机生成的态具有可扩展性？
• RQ5 当 R 较小且固定时，能否利用小子系统（R 个量子比特）的局域约化密度矩阵重建完整 MPO 态？

主要发现

• 该方法仅使用 O(N) 测量基即可实现高保真度重建全秩密度矩阵，与标准层析相比显著降低了资源需求。
• 对于热态，经监督学习后，保真度从初始为负的保真度（表明密度矩阵非物理）提升至 F ≈ 99.6%。
• 对于随机 LPTN 态，使用相同机器学习校正后，保真度从 99.7% 提升至 99.98%。
• 该方法使热态的距离度量 D 降低了 20 倍，LPTN 态则降低了近 100 倍，表明性能显著提升。
• 由于 MPO 结构得以保持，该方法在高熵态下仍保持高效，而基于低秩的方法在此类情况下会失效。
• 该方法具有实验可行性，仅依赖局域泡利测量，而这些测量在当前的离子阱和超导量子平台中已常规实现。