[论文解读] Quantum subspace expansion algorithm for Green's functions

François Jamet, Abhishek Agarwal+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出了一种量子子空间展开（QSE）算法，用于在量子计算机上计算强关联电子系统的格林函数，该方法基于Lanczos方法的连分数表示，并采用两级多网格Trotter时间演化来高效制备基态。该方法在电路深度显著低于直接时间演化的情况下，实现了对金属态与莫特绝缘体态的精确结果，使其在近期量子设备上具备可行性。

ABSTRACT

We present an algorithm to compute Green's functions on quantum computers for interacting electron systems, which is a challenging task on conventional computers. It uses a continued fraction representation based on the Lanczos method, where the wave functions are expanded as linear combination of basis states within a quantum subspace. While on conventional computers the cost of the computation grows exponentially with system size, limiting the method to small systems, by representing the basis states on a quantum computer one may overcome this exponential scaling barrier. We propose a two-level multigrid Trotter time evolution for an efficient preparation of the basis states in a quantum circuit, which takes advantage of the robustness of the subspace expansion against Trotter errors. Using a quantum emulator we demonstrate the algorithm for the Hubbard model on a Bethe lattice with infinite coordination, which we map to a 16 qubit Anderson impurity model within the dynamical mean field theory. Our algorithm computes the Green's function accurately for both the metallic and Mott insulating regimes, with a circuit depth several orders of magnitude below what has been proposed using time evolution. The two-level multigrid time evolution reduces the number of Trotter steps required to compute the Green's function to about four to six. We therefore expect that the method can be used on near term quantum computers for moderate system sizes, while allowing for scalability to larger circuit depths and qubit numbers on future fault tolerant quantum computers.

研究动机与目标

• 解决传统格林函数计算在强关联系统中指数级增长的难题。
• 通过克服电路深度限制，实现近期量子计算机上格林函数的高效量子模拟。
• 开发一种可扩展、鲁棒的方法，利用子空间展开和减少Trotter误差的时间演化来计算格林函数。
• 在16量子比特的量子模拟器上，针对动力学平均场理论下的Hubbard模型映射为安德森局域杂质模型，验证该算法的可行性。

提出的方法

• 该算法基于Lanczos方法，采用格林函数的连分数表示，利用Krylov子空间结构实现更快收敛。
• 采用两级多网格Trotter时间演化电路，以最小化Trotter误差影响，高效制备子空间扩展所需的基态。
• 子空间中的每个基态在量子计算机上单独制备，避免使用深层变分电路，提升鲁棒性。
• 所选基底中的哈密顿量矩阵元在量子计算机上计算，扩展系数通过经典线性代数方法求解。
• 通过修改格林函数和对角结果的线性组合，将该方法扩展至计算较大格林函数的非对角元。
• 该方法将无限配位Bethe晶格Hubbard模型映射为动力学平均场理论（DMFT）下的16量子比特安德森局域杂质模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 与直接时间演化相比，该量子子空间展开算法是否能显著降低计算格林函数所需的量子电路深度？
• RQ2 两级多网格Trotter时间演化在子空间展开中如何提升基态制备的精度与效率？
• RQ3 该算法在量子模拟器上对Hubbard模型的金属相与莫特绝缘体相的模拟能力如何？
• RQ4 该方法能否在保持低电路深度的同时，对近期量子设备中的Trotter误差保持鲁棒性？
• RQ5 与变分量子算法相比，该子空间展开方法在态制备保真度与可扩展性方面表现如何？

主要发现

• 该算法在16量子比特的量子模拟器上，准确计算了Hubbard模型在金属相与莫特绝缘体相下的格林函数。
• 与直接时间演化方法相比，所需电路深度降低了多个数量级，仅需四至六个Trotter步骤。
• 两级多网格Trotter时间演化实现了鲁棒的态制备，即使在低电路深度下也累积极少误差。
• 通过使用100个Matsubara频率和有限逆温度β = 100，成功在动力学平均场理论循环中实现收敛，确保基态主导。
• 通过修改格林函数的线性组合，成功计算了较大格林函数的非对角元，扩展了方法的应用范围。
• 该方法展示了面向未来容错量子计算机的可扩展潜力，其电路深度与量子比特数量可扩展至更大系统。