[论文解读] Quantum supremacy and high-dimensional integration

Juan Miguel Arrazola, Patrick Rebentrost+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过证明连续变量量子线路（CV-IQP）的输出概率对应于高维空间中振荡函数的积分，建立了连续变量量子计算与高维积分之间的直接联系。研究证明这些积分在经典计算下是难以处理的——等价于#P难问题和任意有界函数——从而表明，除非多项式层次坍缩至第三层，否则无法高效地经典模拟CV-IQP线路的近似采样，即使在有限压缩和测量精度下也成立。

ABSTRACT

We establish a connection between continuous-variable quantum computing and high-dimensional integration by showing that the outcome probabilities of continuous-variable instantaneous quantum polynomial (CV-IQP) circuits are given by integrals of oscillating functions in large dimensions. We prove two results related to the classical hardness of evaluating these integrals: (i) we show that there exist circuits such that these integrals are approximations of a weighted sum of #P-hard problems and (ii) we prove that calculating these integrals is as hard as calculating integrals of arbitrary bounded functions. We then leverage these results to show that, given a plausible conjecture about the hardness of computing the integrals, approximate sampling from CV-IQP circuits cannot be done in polynomial time on a classical computer unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Our results hold even in the presence of finite squeezing and limited measurement precision, without an explicit need for fault-tolerance.

研究动机与目标

• 建立连续变量量子计算与高维积分之间的理论联系。
• 证明CV-IQP线路的输出概率对应于高维空间中振荡函数的积分。
• 表明计算这些积分的难度等同于求解#P难问题和任意有界函数。
• 证明在合理的复杂性理论假设下，CV-IQP线路的近似采样在经典计算下是不可行的。
• 表明这些量子优越性结果在有限压缩和测量精度下依然成立，无需容错量子计算。

提出的方法

• 使用动量压缩输入态、位置正交空间中的对角酉操作以及同源测量来建模CV-IQP线路。
• 将输出振幅表示为高维积分形式：$ A_f(s) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{D_L} e^{if(q)} e^{-is\cdot q} dq^n $，其中 $ f $ 为多项式。
• 证明对于某些多项式 $ f $，该积分可任意精确地逼近#P难问题的加权和。
• 表明计算这些积分的难度等同于计算任意有界函数的积分，后者已被证明在最坏情况下需要指数级的经典资源。
• 利用Payley-Zigmund不等式获得反集中度界，表明输出概率以常数概率不致过小。
• 应用马尔可夫不等式和集中性论证，以有限采样估计输出概率的误差提供上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 CV-IQP线路的输出概率能否表示为振荡函数的高维积分？
• RQ2 这些积分对经典计算机而言是否计算困难？若是，其属于何种复杂度类？
• RQ3 在有限压缩和测量精度等现实条件下，CV-IQP线路的量子优越性结果是否依然成立？
• RQ4 在标准复杂性理论假设下，CV-IQP线路的近似采样是否在经典计算下不可行？
• RQ5 CV-IQP线路能否与高维积分中具有实际意义的问题相关联？

主要发现

• CV-IQP线路的输出概率在数学上等价于高维空间中振荡函数的积分。
• 存在某些CV-IQP线路，其对应的积分可任意精确地逼近#P难问题的加权和。
• 计算这些积分的难度等同于计算任意有界函数的积分，后者在最坏情况下已被证明需要指数级经典时间。
• 若这些积分在平均情况下难以近似为#P难问题，则除非多项式层次坍缩至第三层，否则不存在经典算法能高效采样CV-IQP线路的输出分布。
• 即使在有限压缩和有限测量精度下，量子优越性结果依然成立，无需容错量子计算。
• 反集中度成立：以至少1/4的概率，给定结果的输出概率不低于 $ \frac{1}{2} \ell^{-n} $，确保采样时概率不会趋于零。